1.o Supposons d’abord que l’on donne, pour les deux limites, les valeurs
de
Alors, ces valeurs extrêmes étant fixes, leurs variations seront nulles, de sorte que l’équation à laquelle nous venons de parvenir se réduira simplement à
![{\displaystyle \int \left(N-{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}Q}{\operatorname {d} x^{2}}}-{\frac {\operatorname {d} ^{3}R}{\operatorname {d} x^{3}}}+\ldots \right)\omega \operatorname {d} x=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbbd880e2d2785871fac188b97911fc6e84e1af2)
Or, on ne peut supposer
parce que, sous le signe
c’est le
courant, et qu’il ne peut être nul qu’aux limites ; il faut donc que
![{\displaystyle N-{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}Q}{\operatorname {d} x^{2}}}-{\frac {\operatorname {d} ^{3}R}{\operatorname {d} x^{3}}}+\ldots =0\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21f84607a666fbf4d1bed28a4f62f93965c710ce)
(A)
de sorte que cette équation sera l’équation différentielle du maximum ou du minimum cherché. Mais si
![{\displaystyle V=\operatorname {f} (x,y,p,q,\ldots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52149f20bdaf405059e0d846a0fe3b3efa426a39)
contient un coefficient différentiel de l’ordre
il est clair que cette équation sera de l’ordre
de sorte qu’en l’intégrant elle donnera
constantes arbitraires ; or ; comme aux deux limites
il faut qu’elle reproduise
[1] en nombre
on aura
relations pour déterminer les
constantes arbitraires introduites par l’intégration ; et on le pourra aisément.
- ↑ On ne donne que
coefficiens différentiels
s’il doit y en avoir
dans l’équation indéfinie ; parce que les conditions de
et
lorsque
et
fournissent des relations restantes, le cas où l’on donnerait
coefficiens différentiels ou plus n’a pas encore été traité.