Ajoutant membre à membre les quarrés de ces équations, on trouvera
![{\displaystyle {\frac {\left\{(a-a')+p(c-c')\right\}^{2}+\left\{p(b-b')-q(a-a')\right\}^{2}+\left\{(b-b')+q(c-c')\right\}^{2}}{\left\{(x-a)+p(z-c)\right\}^{2}+\left\{p(y-b)-q(x-a)\right\}^{2}+\left\{(y-b)+q(z-c)\right\}^{2}}}={\frac {m^{4}}{n^{4}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e40f3bbfbc6011ae4675014b68c4058ee33ff1fe)
au moyen de quoi l’équation (2) se réduira simplement à
![{\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}={\frac {m^{2}}{n^{2}}}\left\{(a-a')^{2}+(b-b')^{2}+(c-c')^{2}\right\}.\ (\mathrm {V} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/526b4b149ab9c0b4b983387e39a79f01ae3c92b3)
Ainsi les coordonnées du point
de la direction du rayon réfracté, qui répond à des valeurs quelconques de
et
se déduiront finalement de sept équations
![{\displaystyle \mathrm {S=0,\quad (S)\qquad S'=0,\quad (S')} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d321b2468940f2d1558eac09e8a40a404ffb48bd)
![{\displaystyle (a-a')+p'(c-c')=0,\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfa971ae0254ce22709c298abfd14dae9c05cbc4)
(P’)
![{\displaystyle \qquad (b-b')+q'(c-c')=0,\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/162aad56f2fbce299de848708760612e7c55a0f2)
(Q’)
![{\displaystyle (x-a)+p(z-c)=-{\frac {n^{2}}{m^{2}}}\left\{(a-a')+p(c-c')\right\},\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a9f3570a13b0198e2b7a748a5beebeefb9cdee1)
(P)
![{\displaystyle (y-b)+q(z-c)=-{\frac {n^{2}}{m^{2}}}\left\{(b-b')+q(c-c')\right\},\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6206afe7a15a1fa50add4f248b252ffe410108a)
(Q)
![{\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}={\frac {n^{2}}{m^{2}}}\left\{(a-a')^{2}+(b-b')^{2}+(c-c')^{2}\right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce102df088cb7ab4a04dc34e5e36613db289eb91)
(V)
de sorte qu’en éliminant des trois dernières
, au moyen des quatre premières, on pourra en tirer les valeurs de
, en fonction des variables indépendantes
.
On remarquera que l’équation (V) est celle d’une sphère qui a son centre au point d’incidence
et dont le rayon
est à la distance
de son centre à la surface rayonnante dans le rapport constant du sinus de réfraction au sinus d’incidence. Quant aux équations