Si
est un nombre impair, non multiple de
toutes les lignes du second membre de cette équation seront nulles, en vertu de la formule (C) ; de sorte qu’en remplaçant
par
on a
![{\displaystyle \left[\operatorname {Cos} .a\right]^{2\lambda +1}+\left[\operatorname {Cos} .(a+x)\right]^{2\lambda +1}+\left[\operatorname {Cos} .(a+2x)\right]^{2\lambda +1}+\ldots +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b07eb16b0d4487fd8c268d86e1b7852c85014b5d)
![{\displaystyle \left[\operatorname {Cos} .(a+{\overline {n-1}}.x)\right]^{2\lambda +1}=0,\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/787771de60d13cad3f74ff92b1166ae134d976f7)
(D)
Si, au contraire,
est un nombre pair, les cosinus de la dernière ligne seront tous égaux à l’unité, et au nombre de
et leur coefficient commun sera
![{\displaystyle {\frac {p}{1}}.{\frac {p-1}{2}}.{\frac {p-2}{3}}\ldots {\frac {p-{\frac {p-2}{2}}}{\frac {p}{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fb9c73593f5b5d07f46773e4e908cc222d0d4b5)
ou, en changant
en ![{\displaystyle 2\lambda }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1db03132d41e15f8836df69639b30052161785c)
![{\displaystyle {\frac {2\lambda }{1}}.{\frac {2\lambda -1}{2}}.{\frac {2\lambda -2}{3}}\ldots {\frac {2\lambda +1}{\lambda }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a50994bd5a3cf775e519460c366eb379408a7a30)
Il faudra donc prendre
fois la moitié de ce coefficient, et multiplier le résultat par
ou par
ce qui revient à multiplier de suite ce coefficient, tout entier par
On a donc
![{\displaystyle \left[\operatorname {Cos} .a\right]^{2\lambda }+\left[\operatorname {Cos} .(a+x)\right]^{2\lambda }+\left[\operatorname {Cos} .(a+2x)\right]^{2\lambda }+\ldots +\left[\operatorname {Cos} .(a+{\overline {n-1}}.x)\right]^{2\lambda }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c7db6e7d2ba21e3748c151b854212b0bbe9fcfc)
![{\displaystyle ={\frac {n}{2^{2\lambda }}}.{\frac {2\lambda }{1}}.{\frac {2\lambda -1}{2}}.{\frac {2\lambda -2}{3}}\ldots {\frac {\lambda +1}{\lambda }}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41cd506ce3a59e9c7c5c81b8a1f317050243e558)
(E)
En conséquence, si l’on fait successivement
égal à
on tirera des formules (D) et (E)