![{\displaystyle {\frac {p(x-a)+q(y-b)-(z-c)}{\sqrt {\left(1+p^{2}+q^{2}\right)\left\{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}\right\}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bae7b5b1d8b85f65c037815702a402b205a3302)
d’où on conclura, pour les sinus de ces mêmes angles,
![{\displaystyle {\sqrt {\frac {\left\{(a-a')+p(c-c')\right\}^{2}+\left\{p(b-b')-q(a-a')\right\}^{2}+\left\{(b-b')+q(c-c')\right\}^{2}}{\left(1+p^{2}+q^{2}\right)\left\{(a-a')^{2}+(b-b')^{2}+(c-c')^{2}\right\}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b97f71bcfe6ec6f39fecbdf742a0be8a4653424)
![{\displaystyle {\sqrt {\frac {\left\{(x-a)+p(z-c)\right\}^{2}+\left\{p(y-b)-q(x-a)\right\}^{2}+\left\{(y-b)+q(z-c)\right\}^{2}}{\left(1+p^{2}+q^{2}\right)\left\{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}\right\}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/212637402753d43449b8d649e2dfedbe83364532)
Si donc le rapport constant du sinus d’incidence au sinus de réfraction est celui de
à
, en divisant ces deux formules l’une par l’autre, on aura, en quarrant
![{\displaystyle {\frac {\left\{(a-a')+p(c-c')\right\}^{2}+\left\{p(b-b')-q(a-a')\right\}^{2}+\left\{(b-b')+q(c-c')\right\}^{2}}{\left\{(x-a)+p(z-c)\right\}^{2}+\left\{p(y-b)-q(x-a)\right\}^{2}+\left\{(y-b)+q(z-c)\right\}^{2}}}\times }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0a8396a6eda742eba7d29c5a73fd3bc4c2186f3)
![{\displaystyle {\frac {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}}{(a-a')^{2}+(b-b')^{2}+(c-c')^{2}}}={\frac {m^{2}}{n^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e66c440cb171300f88b9ebf7a882832f5322055c)
(2)
Remarquons présentement que les équations de la normale à la surface
au point
sont
![{\displaystyle X-a'=-p'(Z-c'),\qquad Y-b'=-q'(Z-c')\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbd692aa5104645a8a68da77cc32562284fdeeab)
mais les équations du rayon incident peuvent être écrites ainsi
![{\displaystyle X-a'={\frac {a-a'}{c-c'}}(Z-c'),\qquad Y-b'={\frac {b-b'}{c-c'}}(Z-c')\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/535f46c6ea091984f76c560e34eb35197ba25708)
puis donc que cette normale et ce rayon doivent se confondre en une seule et même droite, on doit avoir
![{\displaystyle {\frac {a-a'}{c-c'}}=-p',\qquad {\frac {b-b'}{c-c'}}=-q'\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6559482d9671c61f4517afd4e5ab3309521efaf)
c’est-à-dire,