![{\displaystyle \operatorname {f} (a,b,c)=\mathrm {S} =0,\qquad \operatorname {f} (a',b',c')=\mathrm {\mathrm {S} } =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0acdbcfa47dd50b0bf83e10a7dac727446a7b182)
Soient faits, pour abréger
![{\displaystyle \operatorname {d} c=p\operatorname {d} a+q\operatorname {d} b,\qquad \operatorname {d} c'=p'\operatorname {d} a'+q'\operatorname {d} b'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c906e7b33a0357dfad7d94ce2f2610b089dbad03)
En représentant par
les coordonnées courantes, nous aurons pour les équations
1.
o du rayon incident
![{\displaystyle \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \left\{{\begin{aligned}&X-a={\frac {a-a'}{c-c'}}(Z-c),\\\\&Y-b={\frac {b-b'}{c-c'}}(Z-c)\,;\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bf06f7886f76f0ab8fd117b5e4e4791efd67e93)
2.
o de la normale au point d’incidence
![{\displaystyle \,\left\{{\begin{aligned}&X-a=-p(Z-c),\\\\&Y-b=-q(Z-c)\,;\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1187814da582a8d162feb7f94bedfa0407ba82b)
3.
o du rayon réfracté
![{\displaystyle \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \left\{{\begin{aligned}&X-a={\frac {x-a}{z-c}}(Z-c),\\\\&Y-b={\frac {y-b}{z-c}}(Z-c)\,;\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a5213278ece1c8b79411961ba7550a04afdb109)
Il faudra d’abord exprimer que ces trois droites sont dans un même plan passant par le point
ce qui donnera
![{\displaystyle \left\{(b-b')+q(c-c')\right\}\left\{(x-a)+p(z-c)\right\}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30384cc2f11700c9172392e98599b9bdb6b28e2a)
![{\displaystyle \left\{(a-a')+p(c-c')\right\}\left\{(y-b)+q(z-c)\right\}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dce39aaad2771901cc14b9214b2dbcdf3c0b3bf)
(1)
Les cosinus des angles d’incidence et de réfraction seront respectirement
![{\displaystyle {\frac {p(a-a')+q(b-b')-(c-c')}{\sqrt {\left(1+p^{2}+q^{2}\right)\left\{(a-a')^{2}+(b-b')^{2}+(c-c')^{2}\right\}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce7a47f85da42ccc160bc64492cf9e16f8f14358)