Les intégrales comprises dans cette dernière formule doivent encore être réduites à leurs valeurs principales.
Si la quantité
s’évanouit, on aura simplement
(11)
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\operatorname {f} (x)\operatorname {d} x=\int _{-\infty }^{+\infty }\varphi (x)\operatorname {d} x+\varpi \Phi .{\sqrt {-1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbbc20ed2aba9d449bd6804ed2859b6da83ab697)
Corollaire III. Supposons que l’expression
![{\displaystyle \operatorname {f} (x+y{\sqrt {-1}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4beb11118bb8b6702f49097fc7be55b4e60a595f)
s’évanouisse 1.o pour
quel que soit
2.o pour
quel que soit
mais devienne infinie pour un ou plusieurs systèmes de valeurs positives ou négatives de
et de valeurs nulles ou positives de
Alors, pour déterminer l’intégrale
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\operatorname {f} (x)\operatorname {d} x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de7bddb0469a5ec93c7d9a3da27722a14e33028d)
à l’aide de la formule (10) ou (11), il suffira de trouver une fonction rationnelle de
telle que la différence
![{\displaystyle \operatorname {f} (x)-\varphi (x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8413bc196e36dc4f21142527ee7250ef3c32d3b)
remplisse les conditions énoncées dans le théorème. En cherchant cette fonction rationnelle, et supposant de plus
on se trouvera conduit à la formule (3). C’est ce que l’on reconnaît sans peine, en suivant la méthode que nous allons indiquer.
Considérons d’abord le cas où l’expression (10) devient infinie pour
et
représentant une quantité positive ou nulle. Faisons, pour abréger,
et désignons par
la limite vers laquelle converge le produit
tandis que le facteur
converge vers zéro la différence
![{\displaystyle \operatorname {f} (x)-{\frac {\operatorname {f} _{1}}{x-x_{1}}}={\frac {(x-x_{1})\operatorname {f} (x)-\operatorname {f} _{1}}{(x-x_{1})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9c3fbca4072f2945f4d6217fc53ea6bae70f0d6)