![{\displaystyle =-\mathrm {F} {\sqrt {-1}}\int _{0}^{\infty }{\frac {2X\operatorname {d} y}{X^{2}+y^{2}}}=-\varpi \mathrm {F} {\sqrt {-1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5d699524f8a2b2139d9e17246329df2327c5e98)
Cette dernière équation deviendra rigoureuse, si l’on pose
et se réduira dès lors à la formule (1).
Observons toutefois que, si l’intégrale définie
(6)
![{\displaystyle \qquad \qquad \int _{-\infty }^{+\infty }\operatorname {f} (x)\operatorname {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6b315f2ca8ee5fb08ba4d620bba45e2ab7a41fa)
est du nombre de celles dont les valeurs générales sont indéterminées, la formule (1) fournira seulement une valeur particulière de l’intégrale (6) ; savoir, celle qui sert de limite à l’intégrale (2) et que nous avons nommée valeur principale.
Corollaire I. Lorsque la quantité désignée par
s’évanouit, l’intégrale (6) n’admet qu’une seule valeur, qui se réduit à zéro, en sorte qu’on a
(7)
![{\displaystyle \qquad \qquad \int _{-\infty }^{+\infty }\operatorname {f} (x)\operatorname {d} x=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed02d9b50b526d208137d5ed596b93af3389261b)
Ainsi, par exemple, si l’on prend
![{\displaystyle \operatorname {f} (x)={\frac {e^{ax{\sqrt {-1}}}-e^{-a}}{1+x^{2}}}={\frac {\operatorname {Cos} .ax+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .ax}{1+x^{2}}}-{\frac {e^{-a}}{1+x^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30e701f876bcf90ad050626ac3a439b9b41682ed)
on trouvera
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\operatorname {Cos} .ax+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .ax}{1+x^{2}}}\operatorname {d} x-e^{-a}\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\operatorname {d} x}{1+x^{2}}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b1c2ead920b361b864717757095961115493492)
et, par suite