![{\displaystyle \operatorname {Cos} .{\frac {3\pi }{n}}+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .{\frac {3\pi }{n}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4de86f32b182b7fc1f9623cba95d1646844591f)
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .{\frac {5\pi }{n}}+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .{\frac {5\pi }{n}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1aa0b7419adac846610391639e895a0e8d581b8)
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .{\frac {(2n-1)\pi }{n}}+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .{\frac {(2n-1)\pi }{n}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/101b99e39a1ae5dddc2acb826fd75d6849869fe7)
Si alors
est un nombre pair, toutes ces valeurs, et par suite toutes celles de
seront imaginaires ; mais si, au contraire,
est impair, on rencontrera une valeur intermédiaire
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .\varpi +{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .\varpi =-1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e52155299963c57b489a5b949cfd8e8c77857b49)
et
aura alors une valeur réelle ![{\displaystyle -A.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be3f8f061b4fd81ae7739322197527263582fb52)
5. Si l’on supposait
négatif,
reviendrait à
dans lequel
serait supposé positif, et en désignant par
sa valeur arithmétique absolue, on en conclurait toutes ses valeurs en la multipliant par
ou
suivant le signe de
or,
![{\displaystyle {\frac {1}{(\pm 1)^{\frac {m}{n}}}}={\frac {(+1)^{\frac {m}{n}}}{(\pm 1)^{\frac {m}{n}}}}=\left({\frac {+1}{\pm 1}}\right)^{\frac {m}{n}}=(\pm 1)^{\frac {m}{n}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa737b95379003171bbeeba566126a1bfd3c1507)
d’où l’on voit que nous retomberions de nouveau sur toutes les conséquences que nous a donnée la supposition de ![{\displaystyle {\frac {m}{n}}>0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ab31f91d6cf05bb42b87a52349bee04b81a56d8)
En faisant
ou
suivant que
est pair ou imppair, et faisant aussi, dans les mêmes circonstances,
ou