Si, au lieu de demander que les perpendiculaires menées par les sommets du triangle donné aux droites qui vont du point à ces mêmes sommets interceptent un triangle équivalant à un carré donné, on exigeait que ces perpendiculaires concourussent en un même point, il suffirait, pour plier l’équation générale à cette circonstance, d’y supposer Elle deviendrait simplement
équation qui appartient à un cercle ; et, comme alors la courbe ne cesse pas de passer par les trois sommets du triangle donné, il s’ensuit que cette courbe n’est autre chose, dans ce cas, que le cercle circonscrit à ce triangle, comme on pourrait d’ailleurs s’en assurer directement. On peut aussi s’assurer bien facilement par des considérations purement géométriques qu’en effet si, de l’un quelconque des points de la circonférence circonscrite à un triangle, on mène des droites à ses sommets, les perpendiculaires menées respectivement à ces droites par ces mêmes sommets concourront en un autre point de cette circonférence, diamétralement opposé au premier.
Si, au contraire, on exigeait que l’aire fut infinie, il serait nécessaire et il suffirait pour cela que l’un quelconque des facteurs du dénominateur du premier membre de l’équation fût nul ; mais ces facteurs, égalés à zéro, ne sont autre chose que les équations des trois côtés du triangle donné ; donc, pour que l’aire constante cherchée soit infinie, il est nécessaire et il suffit que le point soit pris sur la direction de l’un des côtés du triangle donné ; ce qui est d’ailleurs manifeste, puisqu’alors deux des côtés du triangle circonscrit seraient parallèles, et qu’ils ne peuvent l’être que dans ce seul cas.
Considérons encore le cas où l’aire du triangle donné serait
