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PROBLÈME. Quelle est l’équation la plus générale des courbes planes dans lesquelles les tangentes aux deux extrémités de leurs cordes se coupent sur la perpendiculaire au milieu de ces cordes ?

Solution. Prenons respectivement pour axes des $x$ et des $y$ la tangente et la normale en un point quelconque de la courbe cherchée, lequel point sera conséquemment l’origine des coordonnées ; et soit $(x',y')$ un autre point quelconque de cette courbe. La corde qui joindra ces deux points aura pour équation

$y={\frac {y'}{x'}}x\,;$

la tangente à l’une de ses extrémités sera l’axe des $x$ lui-même, et la tangente à son autre extrémité aura pour équation

$y-y'={\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} x'}}(x-x').\qquad$(1)

Quant à la perpendiculaire sur le milieu de la corde, son équation sera

$y-{\frac {1}{2}}y'=-{\frac {x'}{y'}}(x-{\frac {1}{2}}x')\,;\qquad$(2)

et il faudra que cette tangente et cette perpendiculaire coupent l’axe des $x$ au même point. Il faudra donc qu’en faisant $y=0,$ dans les équations (1, 2), on en tire la même valeur pour $x.$ Or, elles deviennent ainsi

$y'\operatorname {d} x'+(x-x')\operatorname {d} y'=0\,;\qquad y'^{2}-x'(2x-x')=0\,;$

éliminant donc $x$ entre elles, et supprimant ensuite les accens,