Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1824-1825, Tome 15.djvu/65

$\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}x+\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}x=+{\sqrt {1+\operatorname {Sin} .x}},\quad \operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}x-\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}x=-{\sqrt {1-\operatorname {Sin} .x}}.$

2.^o Si $x$ est compris entre $4n\varpi +{\frac {1}{2}}\varpi$ et $4n\varpi +\varpi ,\ {\frac {1}{2}}x$ sera compris entre $2n\varpi +{\frac {1}{4}}\varpi$ et $2n\varpi +{\frac {1}{2}}\varpi \,;\ \operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}x$ et $\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}x$ seront donc encore positifs ; mais, comme on aura alors $\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}x>\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}x,$ il faudra prendre

$\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}x+\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}x=+{\sqrt {1+\operatorname {Sin} .x}},\quad \operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}x-\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}x=+{\sqrt {1-\operatorname {Sin} .x}}.$

3.^o Si $x$ est compris entre $4n\varpi +\varpi$ et $4n\varpi +{\frac {3}{2}}\varpi ,\ {\frac {1}{2}}x$ sera compris entre $2n\varpi +{\frac {1}{2}}\varpi$ et $2n\varpi +{\frac {3}{4}}\varpi \,;\ \operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}x$ demeurera toujours positif ; mais $\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}x$ sera négatif et moindre que lui, abstraction faite de son signe ; on aura donc

$\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}x+\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}x=+{\sqrt {1+\operatorname {Sin} .x}},\quad \operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}x-\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}x=+{\sqrt {1-\operatorname {Sin} .x}}.$

4.^o Si, se trouve compris entre $4n\varpi +{\frac {3}{2}}\varpi$ et $4n\varpi +2\varpi ,\ {\frac {1}{2}}x$ sera compris entre $2n\varpi +{\frac {3}{4}}\varpi$ et $2n\varpi +\varpi \,;\ \operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}x$ sera encore positif et $\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}x$ négatif ; mais, comme ce dernier sera plus grand, abstraction faite de son signe, que le premier, il faudra prendre

$\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}x+\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}x=-{\sqrt {1+\operatorname {Sin} .x}},\quad \operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}x-\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}x=+{\sqrt {1-\operatorname {Sin} .x}}.$

5.^o Si $x$ est compris entre $4n\varpi +2\varpi$ et $4n\varpi +{\frac {5}{2}}\varpi ,\ {\frac {1}{2}}x$ sera compris entre $4n\varpi +\varpi$ et $4n\varpi +{\frac {5}{4}}\varpi \,;\ \operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}x$ et $\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}r$ seront alors tous deux négatifs ; mais, abstraction faite des signes, $\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}x$ sera le plus petit des deux, de sorte qu’on aura

$\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}x+\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}x=-{\sqrt {1+\operatorname {Sin} .x}},\quad \operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}x-\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}x=+{\sqrt {1-\operatorname {Sin} .x}}.$

6.^o Si $x$ est compris entre $4n\varpi +{\frac {5}{2}}\varpi$ et $4n\varpi +3\varpi ,\ {\frac {1}{2}}x$ se