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$\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}x=+{\sqrt {{\frac {1}{2}}(1-\operatorname {Cos} .x)}},\qquad \operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}x=-{\sqrt {{\frac {1}{2}}(1+\operatorname {Cos} .x)}}.$

3.^o Si $x$ est compris entre $(4n+2)\varpi$ et $(4n+3)\varpi ,\ {\frac {1}{2}}x$ sera compris entre $2n\varpi +\varpi$ et $2n\varpi +{\frac {3}{2}}\varpi$ et conséquemment on devra avoir

$\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}x=-{\sqrt {{\frac {1}{2}}(1-\operatorname {Cos} .x)}},\qquad \operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}x=-{\sqrt {{\frac {1}{2}}(1+\operatorname {Cos} .x)}}.$

4.^o Enfin, si $x$ est compris entre $(4n+3)\varpi$ et $(4n+4)\varpi ,\ {\frac {1}{2}}x$ se trouvera compris entre $2n\varpi +{\frac {3}{4}}\varpi$ et $2(n+1)\varpi$ et conséquemment on devra avoir

$\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}x=-{\sqrt {{\frac {1}{2}}(1-\operatorname {Cos} .x)}},\qquad \operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}x=+{\sqrt {{\frac {1}{2}}(1+\operatorname {Cos} .x)}}.$

Mais, comme l’observe M. Legendre, dans sa trigonométrie, au lieu d’avoir le sinus et le cosinus de la moitié d’un angle en fonction du cosinus de cet angle, on peut désirer de les obtenir immédiatement en fonction de son sinus. On y parviendrait d’abord facilement en substituant dans les formules ci-dessus la valeur

$\operatorname {Cos} .x=\pm {\sqrt {1-\operatorname {Sin} .^{2}x}},$

et discutant ensuite, comme ci-dessus, les signes du second radical qui doivent répondre à chaque cas ; mais on doit éviter autant qu’on le peut dans les formules les radicaux superposés, attendu l’obligation qu’ils imposent d’extraire les premières racines avec beaucoup plus de chiffres décimaux qu’on n’en a besoin dans le résultat final ; et ces radicaux superposés peuvent, dans la question qui nous occupe, être facilement évités.

On a en effet, quel que soit $x,$