cette aire est constamment moitié de celle du quarré donné, quelle que soit la situation du point de départ des perpendiculaires. M. Lhuilier regarde ce cas comme une exception tout-à-fait extraordinaire sous le point de vue logique ; mais nous ne saurions partager sa surprise à cet égard. Les exceptions de ce genre sont en effet très-fréquentes dans les sciences exactes ; et, lorsqu’on dit qu’une quantité est fonction de plusieurs autres, on veut seulement dire qu’elle ne dépend au plus que de celles-là, sans prétendre qu’elle dépende de toutes dans tous les cas. Le rayon du cercle des points de la circonférence duquel peuvent partir les perpendiculaires est déterminé, en général, pour un polygone à construire d’une aire donnée ; mais, dans un cas particulier, ce rayon devient indéterminé s’il n’est pas impossible ; circonstance fort ordinaire dans les recherches mathématiques.
Que, par exemple, on demande de construire un quadrilatère dont les quatre côtés consécutifs soient le problème sera indéterminé, parce qu’en général il faut cinq conditions pour déterminer un quadrilatère ; mais si, pour en lever l’indétermination, on exige en outre que les deux diagonales du quadrilatère à construire se coupent à angles droits, on trouvera aisément qu’alors le problème n’est possible qu’autant qu’on a
et que, si les quatre côtés donnés satisfont à cette condition, le problème demeure indéterminé.
L’aire du polygone régulier donné est
mais, si l’on suppose le point de départ des perpendiculaires sera le centre même de ce polygone, et le second polygone sera le polygone régulier formé par les droites qui joignent les milieux
