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$\Sigma \operatorname {Cos} .\left({\frac {4n\varpi }{m}}-2\alpha \right)={\frac {\operatorname {Cos} .\left[{\frac {2(m-1)\pi }{m}}-2\alpha \right]\operatorname {Sin} .2\varpi }{\operatorname {Sin} .{\frac {2\pi }{m}}}}=0.$

En conséquence, l’aire du polygone se réduit simplement à

${\frac {m}{4}}\left\{r^{2}+\left(r^{2}+k^{2}\right)\operatorname {Cos} .{\frac {2\pi }{m}}\right\}\operatorname {Sin} .{\frac {2\pi }{m}},$

c’est-à-dire qu’elle sera tout-à-fait indépendante de $\alpha$ ; d’où résulte ce théorème :

THÉORÈME. Si de l’un quelconque des points du plan d’un polygone régulier on abaisse des perpendiculaires sur les directions de ses côtés, les droites qui joindront consécutivement les pieds de ces perpendiculaires formeront un nouveau polygone non régulier, inscrit au premier, dont l’aire ne dépendra uniquement que du rayon du cercle circonscrit au polygone primitif et de la distance de son centre au point d’où partent les perpendiculaires ; de sorte que cette aire sera la même pour toutes, les situations de ce point sur une même circonférence concentrique au polygone primitif.

C’est en cela que consiste le théorème de M. Lhuilier que nous nous étions proposé de démontrer, et qu’on peut encore énoncer de la manière suivante :

THÉORÈME. Le lieu des points du plan d’un polygone régulier desquels abaissant des perpendiculaires sur les directions de ses côtés, l’aire du polygone qui a ses sommets aux pieds de ces perpendiculaires est constante et donnée, est une circonférence ayant même centre que le polygone régulier donné.

Dans le cas particulier où $m=4,$ c’est-à-dire lorsque le polygone donné est un quarré, à cause de $\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{2}}=0$ et de $\operatorname {Sin} .{\frac {\varpi }{2}}=1,$ l’aire du nouveau polygone se réduit à $r^{2},$ c’est-à-dire qu’alors