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la direction du côté dont nous venons de déterminer l’équation sera

$(x-k\operatorname {Cos} .\alpha )\operatorname {Sin} .{\frac {(2n+1)\pi }{m}}-(y-k\operatorname {Sin} .\alpha )\operatorname {Cos} .{\frac {(2n+1)\varpi }{m}}=0\,;$ (2)

mais l’équation (1) peut être mise sous cette autre forme

$(x-k\operatorname {Cos} .\alpha )\operatorname {Cos} .{\frac {(2n+1)\varpi }{m}}+(y-k\operatorname {Sin} .\alpha )\operatorname {Sin} .{\frac {(2n+1)\varpi }{m}}=$

$r\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{m}}-k\operatorname {Cos} .\left[{\frac {(2n+1)\varpi }{m}}-\alpha \right]$ (3)

En considérant les équations (2 et 3) comme les deux équations d’un même problème, $x$ et $y$ seront alors les coordonnées du pied de la perpendiculaire. On tire d’ailleurs de leur combinaison

$x-k\operatorname {Cos} .\alpha =\left\{r\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{m}}-k\operatorname {Cos} .\left[{\frac {(2n+1)\varpi }{m}}-\alpha \right]\right\}\operatorname {Cos} .{\frac {(2n+1)\varpi }{m}},$

$y-k\operatorname {Sin} .\alpha =\left\{r\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{m}}-k\operatorname {Cos} .\left[{\frac {(2n+1)\varpi }{m}}-\alpha \right]\right\}\operatorname {Sin} .{\frac {(2n+1)\varpi }{m}}\,;$

d’où il est facile de conclure pour la longueur $p$ de cette perpendiculaire

$p=r\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{m}}-k\operatorname {Cos} .\left[{\frac {(2n+1)\varpi }{m}}-\alpha \right].$

Si l’on représente par $p'$ la perpendiculaire qui précède immédiatement celle-là, on en conclura la longueur de celle de $p$ en y changeant $n$ en $n-1\,;$ ce qui donnera

$p'=r\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{m}}-k\operatorname {Cos} .\left[{\frac {(2n-1)\varpi }{m}}-\alpha \right]\,;$

on pourra ensuite mettre ces deux valeurs sous cette autre forme

$p=r\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{m}}-k\operatorname {Cos} .\left[\left({\frac {2n\varpi }{m}}-\alpha \right)+{\frac {\varpi }{m}}\right],$