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${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=P_{1}y+Q_{1},\qquad$(1)

dans laquelle $P_{1}$ et $Q_{1}$ sont supposés des fonctions quelconques de $x$ sans $y.$ En la différentiant, on trouve

${\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}=P_{1}{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} P_{1}}{\operatorname {d} x}}y+{\frac {\operatorname {d} Q_{1}}{\operatorname {d} x}}\,;$

ou, en mettant pour ${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}$ sa valeur donnée par la proposée,

${\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}=\left(P_{1}^{2}+{\frac {\operatorname {d} P_{1}}{\operatorname {d} x}}\right)y+\left(P_{1}Q_{1}+{\frac {\operatorname {d} Q_{1}}{\operatorname {d} x}}\right)\,;$

de sorte qu’en posant

$P_{1}^{2}+{\frac {\operatorname {d} P_{1}}{\operatorname {d} x}}=P_{2},\qquad P_{1}Q_{1}+{\frac {\operatorname {d} Q_{1}}{\operatorname {d} x}}=Q_{2},$

on aura

${\frac {\operatorname {d} y^{2}}{\operatorname {d} x^{2}}}=P_{2}y+Q_{2},$

où $P_{2}$ et $Q_{2}$ seront encore, comme dans (1), des fonctions de $x$ sans $y.$

Il est clair, d’après cela, que, si l’on pose

$P_{2}^{2}+{\frac {\operatorname {d} P_{2}}{\operatorname {d} x}}=P_{3},\qquad P_{2}Q_{2}+{\frac {\operatorname {d} Q_{2}}{\operatorname {d} x}}=Q_{3},$

on aura

${\frac {\operatorname {d} y^{3}}{\operatorname {d} x^{3}}}=P_{3}y+Q_{3},$

où $P_{3}$ et $Q_{3}$ seront toujours des fonctions de $x$ sans $y\,;$ de manière qu’en continuant ainsi, on aura, en général,