Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1824-1825, Tome 15.djvu/43

ARITHMÉTIQUE.

Démonstration élémentaire de la valeur infinie
de la somme des inverses des nombres naturels ;

M. L. C. Bouvier, ex-officier du génie, ancien élève
de l’école polytechnique.

≈≈≈≈≈≈≈≈≈

Soit posée

${\begin{aligned}&z=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+\ldots \\\\&x=1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+\ldots \\\\&y=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{12}}+{\frac {1}{14}}+\ldots \end{aligned}}$

nous aurons évidemment

$x+y=z,\qquad 2y=z,$

et par suite

$x+y=2y\qquad$ou$\qquad x=y.$

Mais, d’un autre côté, $y$ n’étant autre chose que $x,$ dans laquelle on a augmenté tous les dénominateurs d’une unité, si $x,y,z$ avaient des valeurs finies, on devrait avoir

$x>y.$