Dandelin, officier du génie militaire du royaume des Pays-Bas, sur l’hyperboloïde et les hexagones inscrits et circonscrits aux sections coniques ; recherches destinées à faire partie du III.e volume des Mémoires de l’académie royale des sciences de Bruxelles, qui s’imprime actuellement, et dont nous devons la communication à l’extrême obligeance de M. Quetelet, auteur lui-même d’un très-beau travail sur les caustiques, que nous avons mentionné récemment.
I. Soient deux droites indéfinies, non situées dans un même plan, invariablement liées l’une à l’autre. Si l’on conçoit que l’une d’elles tourne autour de l’autre prise pour axe, elle engendrera, dans son mouvement, une surface de révolution, connue sous le nom d’hyperboloïde à une nappe, dont les variétés dépendront, à la fois, et de la plus courte distance entre l’axe et la génératrice et de l’angle que formeront entre elles ces deux droites.
Mais la plus courte distance demeurant la même, la génératrice peut faire le même angle avec l’axe dans deux directions différentes ; d’où il suit qu’une même hyperboloïde de révolution à une nappe peut être engendrée de deux manières différentes par une droite tournant autour d’un axe fixe.
Il résulte de là que, par chacun des points de cette surface, on peut toujours tracer deux droites indéfinies qui s’y trouvent entièrement situées ; ou encore que cette surface est une sorte de tissu de deux séries d’élémens rectilignes, tels que deux élément quelconques d’une même série, non situés dans un même plan, ne sauraient se rencontrer, tandis qu’au contraire chaque élément de l’une quelconque des deux séries est coupé, tour à tour, par tous les autres élémens de l’autre série ; d’où il suit encore qu’une telle surface peut être considérée comme engendrée par une droite indéfinie qui se meut sur trois élémens quelconques d’une même série.
Toutes les sections d’une telle surface, par des plans perpendiculaires à son axe, sont, comme toutes les sections faites de cette
