duits indépendans de
que nous avons formés est
et que chacun d’eux se trouve répété
fois, il en résulte que le nombre des produits réellement différens de
facteurs qui ne renferment pas
est seulement
en y ajoutant donc le nombre
des produits de
facteurs qui renferment cette lettre, nous aurons, pour le nombre total
des différens produits de
facteurs,
ou
c’est-à-dire, que nous aurons
![{\displaystyle P_{n}={\frac {m+n-1}{n}}P_{n-1}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcb98b5c08fb44cef90e1f70cd3682926ce1da7f)
(18)
Observant donc que
et faisant successivement, ![{\displaystyle n=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dba4db03e5186e479ecd9611484b8657140a7ff0)
il viendra
![{\displaystyle {\begin{aligned}&P_{1}={\frac {m}{1}},\\\\&P_{2}={\frac {m}{1}}.{\frac {m+1}{2}},\\\\&P_{3}={\frac {m}{1}}.{\frac {m+1}{2}}.{\frac {m+2}{3}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&P_{n}={\frac {m}{1}}.{\frac {m+1}{2}}.{\frac {m+2}{3}}\ldots {\frac {m+n-1}{n}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cabdcd53d898f6bc56f9e00fd3606db653d52d8)
au moyen de quoi l’équation (17) deviendra
![{\displaystyle (1-z)^{-m}=1+{\frac {m}{1}}z+{\frac {m}{1}}.{\frac {m+1}{2}}z^{2}+{\frac {m}{1}}.{\frac {m+1}{2}}.{\frac {m+2}{3}}z^{3}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02cd8679f9fbf03b0134ac6731f6b5c3056e94c3)
![{\displaystyle +{\frac {m}{1}}.{\frac {m+1}{2}}.{\frac {m+2}{3}}\ldots {\frac {m+n-1}{n}}z^{n}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc02357bfd9ccaad1a0af4d0718863829865319b)
ou en changeant
en
et multipliant ensuite les deux membres par ![{\displaystyle x^{-m}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b020bf43b38c99b71cf8ed0c8719a5943cd5eeb)