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${\frac {1}{\left\{\operatorname {f} (x)\right\}^{m}}}\quad$ou$\quad \left\{\operatorname {f} (x)\right\}^{-m}=\operatorname {f} (-mx).\qquad$(13)

Ainsi la formule (9), qui n’était démontrée que pour une valeur positive de l’exposant, se trouve l’étre présentement pour une valeur réèlle quelconque de cet exposant.

Au moyen de ces résultats, la formule du binôme de Ne\thetaon se trouve démontrée pour toute valeur réelle de l’exposant. On a, en effet, par ce qui précède, quelque valeur réelle qu’on attribue à $m,$

$\left\{\operatorname {f} (x)\right\}^{m}=\operatorname {f} (mx)\,;$

c’est-à-dire (5)

$\left\{1+{\frac {x}{1}}z+{\frac {x}{1}}.{\frac {x+p}{2}}z^{2}+{\frac {x}{1}}.{\frac {x+p}{2}}.{\frac {x+2p}{3}}z^{3}+\ldots \right\}^{m}$

$=1+{\frac {mx}{1}}z+{\frac {mx}{1}}.{\frac {mx+p}{2}}z^{2}+{\frac {mx}{1}}.{\frac {mx+p}{2}}.{\frac {mx+2p}{3}}z^{3}+\ldots$

$+{\frac {mx}{1}}.{\frac {mx+p}{2}}\ldots {\frac {mx+(n-1)p}{n}}z^{n}+\ldots (14)$

Faisant dans cette équation $x=1$ et $p=-1,$ elle deviendra

$(1+z)^{m}=1+{\frac {m}{1}}z+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}z^{2}+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}.{\frac {m-2}{3}}z^{3}+\ldots$

$+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}.{\frac {m-2}{3}}\ldots {\frac {m-n+1}{n}}z^{n}+\ldots$

Changeant ensuite $z$ en ${\frac {a}{x}},$ et multipliant les deux membres par $x^{m},$ on obtiendra, quel que soit le nombre réel $m$

$(x+a)^{m}=x^{m}+{\frac {m}{1}}ax^{m-1}+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}a^{2}x^{m-2}+\ldots$

$+\ldots {\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}\ldots {\frac {m-n+1}{n}}a^{n}x^{m-n}+\ldots$(15)

Cette formule peut au surplus, pour le cas de l’exposant en-