l’auteur ; mais il me paraît qu’il serait assez facile de les remplacer par des considérations puisées dans la géométrie plane la plus élémentaire. Peut-être même ne serait-il pas impossible de ramener à cette même géométrie la démonstration de deux théorèmes, beaucoup plus généraux, par lesquels je viens de les remplacer. Cependant, pour la satisfaction de ceux d’entre les lecteurs qui comme moi peuvent éprouver quelque gêne à promener alternativement leurs regards d’un texte sur une figure et d’une figure sur un texte, j’ai pensé qu’il valait mieux recourir à l’usage du calcul ; d’autant que, comme on le verra tout à l’heure, il n’est pas nécessaire ici d’en faire une très-grande dépense.
Le calcul peut, en cette rencontre, être employé de deux manières différentes. On peut supposer le théorème connu, et employer le calcul à en démontrer l’exactitude : c’est la marche synthétique que l’on persiste encore aujourd’hui à suivre dans les traités de géométrie élémentaire. On peut, au contraire, supposer le théorème tout à fait inconnu, et montrer comment le calcul aurait pu y conduire depuis long-temps, si nous étions plus adroits à le manier ; c’est la marche analitique, bien préférable à l’autre, et qu’il convient d’autant mieux d’adopter ici qu’elle pourra donner d’utiles directions dans les recherches qui restent encore à faire, relativement aux caustiques que forment les rayons réfléchis ou réfractés, à la rencontre d’une surface courbe quelconque.
Soit donc une courbe plane quelconque, séparatrice de deux milieux homogènes, de densité différente ; et soit une autre courbe plane aussi quelconque, située dans le même plan avec la première, et de tous les points de laquelle jaillissent, dans des directions normales, des rayons lumineux qui se réfractent à la rencontre de l’autre courbe. Soit le rapport constant du sinus d’incidence au sinus de réfraction.
Soient rapportées les deux courbes à deux axes rectangulaires
