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20. Bien que dans le cas où $m=n,$ dont nous n’avons pas parlé, l’intégrale soit une transcendante, ce principe lui est également applicable, si l’on pose alors $p=1\,;$ en extrayant la racine du degré $m$ des deux membres, l’équation se réduira à $xy=1,$ et représentera (fig. 11) l’hyperbole équilatère du second degré, pour laquelle on aura

$u=\int y\operatorname {d} x=\int {\frac {\operatorname {d} x}{x}}\operatorname {l} x+\operatorname {l} c.$

Ici l’origine naturelle de l’intégrale est, pour le abscisses positives, au point pour lequel $x=1,$ puisqu’en supposant nulle la constante $\operatorname {l} c,$ il faut faire $x=1$ pour avoir $\operatorname {l} x=0.$ Entre les limites $x=+a$ et $x=+b,$ cette intégrale devient

$\int _{+a}^{+b}y\operatorname {d} x=\operatorname {l} b-\operatorname {l} a=\operatorname {l} {\frac {b}{a}}\,;$

elle représente donc le logarithme du rapport des abscisses ; et elle est positive, parce qu’on a $b>a.$ Pour les abscisses négatives, l’origine n’est plus au même point ; elle se trouve au point pour lequel on a $x=-1.$ En effet, on peut mettre $u$ sous la forme $\operatorname {l} .cx=\operatorname {l} .(-c)(-x),$ puis en posant $c=-c',\ x=-x',$ sous la forme $\operatorname {l} .c'x'=\operatorname {l} x'+\operatorname {l} c'.$ Alors $x'$ représente la valeur absolue de l’abscisse ; et l’on voit qu’en supposant $\operatorname {l} c'=0,$ il faudra avoir $x'=1$ poux que l’intégrale s’évanouisse. Entre les limites $x=-a'$ et $x=-b'$ ou $x'=-a'$ et $x'=b',$ elle devient

$\int _{-a'}^{-b'}y\operatorname {d} x=\operatorname {l} b'-\operatorname {l} a'=\operatorname {l} {\frac {b'}{a'}}.$

Elle représente encore le logarithme du rapport des abscisses ; mais