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des faces d’un polyèdre et les angles dièdres qu’elles déterminant par leur rencontre.

Soient $t_{1},t_{2},t_{3},\ldots t_{n}$ les aires de ces faces. Rapportons le polyèdre à des axes rectangulaires ayant leur origine dans son intérieur ; et soient $p_{1},p_{2},p_{3}$$,\ldots p_{n}$ les perpendiculaires abaissées de cette origine sur les plans de ses faces, et allant conséquemment du dedans au dehors. Soient encore $\alpha _{1},\beta _{1},\gamma _{1}\,;\alpha _{2},\beta _{2},\gamma _{2}\,;\ldots$$\alpha _{n},\beta _{n},\gamma _{n}$ les angles que font ces mêmes perpendiculaires avec les trois faces.

Si l’on considère un autre point $(x,y,z),$ prisdans l’intérieur du polyèdre, comme le sommet commun d’une suite de pyramides ayant ses faces pour bases, leurs hauteurs seront (29)

${\begin{aligned}&p_{1}-x\operatorname {Cos} .\alpha _{1}-y\operatorname {Cos} .\beta _{1}-z\operatorname {Cos} .\gamma _{1},\\&p_{2}-x\operatorname {Cos} .\alpha _{2}-y\operatorname {Cos} .\beta _{2}-z\operatorname {Cos} .\gamma _{2},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&p_{n}-x\operatorname {Cos} .\alpha _{n}-y\operatorname {Cos} .\beta _{n}-z\operatorname {Cos} .\gamma _{n}\,;\end{aligned}}$

de sorte qu’en désignant par $\mathrm {P}$ le volume de tout le polyèdre, égal à la somme des volumes de ces pyramides, on aura

$3\mathrm {P} =\left\{{\begin{aligned}&t_{1}\left(p_{1}-x\operatorname {Cos} .\alpha _{1}-y\operatorname {Cos} .\beta _{1}-z\operatorname {Cos} .\gamma _{1}\right)\\+&t_{2}\left(p_{2}-x\operatorname {Cos} .\alpha _{2}-y\operatorname {Cos} .\beta _{2}-z\operatorname {Cos} .\gamma _{2}\right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\+&t_{n}\left(p_{n}-x\operatorname {Cos} .\alpha _{n}-y\operatorname {Cos} .\beta _{n}-z\operatorname {Cos} .\gamma _{n}\right)\end{aligned}}\right\}$

ou bien

$3\mathrm {P} =t_{1}p_{1}+t_{2}p_{2}+\ldots t_{n}p_{n}-\left\{{\begin{aligned}&x\left(t_{1}\operatorname {Cos} .\alpha _{1}+t_{2}\operatorname {Cos} .\alpha _{2}+\ldots t_{n}\operatorname {Cos} .\alpha _{n}\right)\\+&y\left(t_{1}\operatorname {Cos} .\beta _{1}+t_{2}\operatorname {Cos} .\beta _{2}+\ldots t_{n}\operatorname {Cos} .\beta _{n}\right)\\+&z\left(t_{1}\operatorname {Cos} .\gamma _{1}+t_{2}\operatorname {Cos} .\gamma _{2}+\ldots t_{n}\operatorname {Cos} .\gamma _{n}\right)\end{aligned}}\right\}$

et, comme on a aussi

$3\mathrm {P} =t_{1}p_{1}+t_{2}p_{2}+\ldots t_{n}p_{n},$

il s’ensuit qu’on doit avoir