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Soit $(x',y',z')$ un point quelconque de l’espace, et soit $\mathrm {P}$ la perpendiculaire abaissée de ce point sur le plan (27) ; si, par le point $(x',y',z')$ on conçoit un plan parallèle à celui-là, son équation sera de la forme

$x\operatorname {Cos} .(x,p)+y\operatorname {Cos} .(y,p)+z\operatorname {Cos} .(z,p)=p'\,;\qquad$(28)

et conséquemment on devra avoir

$x'\operatorname {Cos} .(x,p)+y'\operatorname {Cos} .(y,p)+z'\operatorname {Cos} .(z,p)=p\,;$

or, la perpendiculaire $\mathrm {P}$ est visiblement égale à la différence des perpendiculaires abaissées de l’origine sur les deux plans parallèles (27) et (28) ; donc suivant que le plan (27) sera ou ne sera pas situé entre l’origine et le point $(x,y,z),$ on aura

$\pm \mathrm {P} =p'-p=x'\operatorname {Cos} .(x,p)+y'\operatorname {Cos} .(y,p)+z'\operatorname {Cos} .(z,p)-p.$ (29)

D’après les formules déterminées xi-dessus, on voit que, si l’équation proposée était de la forme

$\mathrm {A} x+\mathrm {B} y+\mathrm {C} z=\mathrm {D} ,$

on aurait alors

$P=\pm {\frac {\mathrm {A} x'+\mathrm {B} y'+\mathrm {C} z'-\mathrm {D} }{\sqrt {\mathrm {A} ^{2}+\mathrm {B} ^{2}+\mathrm {C} ^{2}}}}\,;$

formule connue.

Soit un second plan

$\mathrm {A} 'x+\mathrm {B} 'y+\mathrm {C} 'z=\mathrm {D} '\,;$

l’angle des deux plans sera égal à $(p,p'),\ p'$ étant ici la perpendiculaire abaissée de l’origine sur le second plan ; or, on a (§. VI)

$\operatorname {Cos} .(p,p')=$

$\operatorname {Cos} .(x,p)\operatorname {Cos} .(x,p')+\operatorname {Cos} .(y,p)\operatorname {Cos} .(y,p')+\operatorname {Cos} .(z,p)\operatorname {Cos} .(z,p')\,;$

donc

$\operatorname {Cos} .(p,p')={\frac {\mathrm {AA'+BB'+CC} '}{\left(\mathrm {A^{2}+B^{2}+C^{2}} \right)\left(\mathrm {A'^{2}+B'^{2}+C'^{2}} \right)}}\,;$

formule également connue.

§. IX.

Nous terminerons par la recherche des relations entre les aires