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$\operatorname {Sin} .(y,z)\operatorname {Sin} .\mathrm {Z} '=k=$

${\sqrt {1-\operatorname {Cos} .^{2}(x,y)-\operatorname {Cos} .^{2}(y,z)-\operatorname {Cos} .^{2}(z,x)+2\operatorname {Cos} .(x,y)\operatorname {Cos} .(y,z)\operatorname {Cos} .(z,x)}}\,;$

donc finalement

$\mathrm {P} =xyz\times$

${\sqrt {1-\operatorname {Cos} .^{2}(x,y)-\operatorname {Cos} .^{2}(y,z)-\operatorname {Cos} .^{2}(z,x)+2\operatorname {Cos} .(x,y)\operatorname {Cos} .(y,z)\operatorname {Cos} .(z,x)}}.$

§. VIII.

La formule (13) va nous conduire à l’équation du plan. En désignant, en effet, par $p$ la perpendiculaire abaissée de l’origine des coordonnées sur un plan donné de position, $(x,y,z)$ représentant un point quelconque de ce plan, et $r$ la distance du même point à l’origine, on aura par l’équation (13)

$r\operatorname {Cos} .(r,p)=x\operatorname {Cos} .(x,p)+y\operatorname {Cos} .(y,p)+z\operatorname {Cos} .(z,p).$

Or $r\operatorname {Cos} (r,p)$ n’est autre chose que la perpendiculaire $p\,;$ donc

$x\operatorname {Cos} .(x,p)+y\operatorname {Cos} .(y,p)+z\operatorname {Cos} .(z,p)=p.\qquad$(27)

Telle est donc sous une forme très-simple l’équation entre les trois coordonnées de l’un quelconque des points d’un plan donné. On doit remarquer, au surplus, que les trois coefficiens du premier membre sont liés entre eux par l’équation (15) qui, lorsque les axes sont rectangulaires, se réduit à

$\operatorname {Cos} .^{2}(x,p)+\operatorname {Cos} .^{2}(y,p)+\operatorname {Cos} .^{2}(z,p)=1.$

Dans la même hypothèse, si

$Ax+By+Cz=D$

représente l’équation d’un plan, on aura

$\operatorname {Cos} .(x,p)={\frac {A}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}},\qquad \operatorname {Cos} .(y,p)={\frac {B}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}},$

$\operatorname {Cos} .(z,p)={\frac {C}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}},\qquad \qquad \qquad p={\frac {D}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}.$