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tion. On trouve, en effet, en se rapelant qu’on a $n<m,$

$\int _{-a'}^{+b}y\operatorname {d} x=\int _{-a'}^{0}y\operatorname {d} x+\int _{0}^{+b}y\operatorname {d} x=c\left(0^{\frac {n-m}{n}}-a'^{\frac {n-m}{n}}\right)$

$+c\left(0^{\frac {n-m}{n}}-b^{\frac {n-m}{n}}\right)=c\left(\infty -a'^{\frac {n-m}{n}}+\infty -b^{\frac {n-m}{n}}\right)$

ou encore

$\int _{-a'}^{+b}y\operatorname {d} x=\mathrm {YOX'-A'P'X'+YOX-BQX} ,$

intégrale qui se réduirait à $-\mathrm {A'P'X'-BQX} ,$ si l’on n’avait fait qu’une intégration.

Ce qui précède suppose que $m$ est pair et $n$ impair. Si l’on avait au contraire $m$ impair et $n$ pair les deux branches de la courbe se trouvant alors situées d’un même côté de l’axe des $y,$ il y aurait à considérer, pour chaque abscisse, des aires correspondant aux deux branches de courbes, ce qui sortirait du sujet qui nous occupe. Mais, dans le cas de $m$ et $n$ tous deux impairs et inégaux, les mêmes observations se représenteraient ; il arriverait seulement que la branche analogue à $\mathrm {B'A'X'}$ (fig. 10) serait située dans l’angle $\mathrm {X'OY'}$ (fig. 11) ; que toutes les aires qui s’y rapporteraient seraient négatives, et que conséquemment une intégrale prise entre une limite négative et une limite positive ne se composerait plus, comme précédemment, de la somme, mais de la différence arithmétique des aires partielles.

Il demeure donc suffisamment établi, par ce qui précède, que l’on ne peut obtenir une intégrale entre deux limites données par une seule intégration que dans le cas où l’origine naturelle de cette intégrale est la même pour les deux limites données.