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conque, par l’origine des axes obliques, et soit $(x',y',z')$ son extrémité ; l’équation (13), multipliée par $r',$ donnera

$rr'\operatorname {Cos} .(r,r')=r'x\operatorname {Cos} .(r',x)+r'y\operatorname {Cos} .(r',y)+r'z\operatorname {Cos} .(r',z)\,;$

mais les trois dernières équations (14) donnent

${\begin{aligned}&r'\operatorname {Cos} .(r',x)=x'+y'\operatorname {Cos} .(x,y)+z'\operatorname {Cos} .(z,x),\\&r'\operatorname {Cos} .(r',y)=y'+z'\operatorname {Cos} .(y,z)+x'\operatorname {Cos} .(x,y),\\&r'\operatorname {Cos} .(r',z)=z'+x'\operatorname {Cos} .(z,x)+y'\operatorname {Cos} .(y,z)\,;\end{aligned}}$

mettant ces valeurs xlans l’équation précédente, elle deviendra

$rr'\operatorname {Cos} .(r,r')=\left\{{\begin{aligned}&xx'+(yz'+zy')\operatorname {Cos} .(y,z)\\+&yy'+(zx'+xz')\operatorname {Cos} .(z,x)\\+&zz'+(xy'+yx')\operatorname {Cos} .(x,y)\end{aligned}}\right\}.$

En substituant aux rapports ${\frac {x}{r}},{\frac {y}{r}},{\frac {z}{r}},{\frac {x'}{r}},{\frac {y'}{r}},{\frac {z'}{r}},$ leurs valeurs angulaires, données par les équations (18), cette formule donnera le cosinus de l’angle de deux droites, rapportées à des coordonnées obliques.

§. VII.

Les formules relatives à la transformation des coordonnées se déduisent de l’équation (13) de la manière la plus simple.

Soient, en effet dans l’espace, deux systèmes d’axes obliques ayant la même origine ; soient $x,y,z$ et $x',y',z'$ les coordonnées d’un même point quelconque, dans les deux systèmes, et soit $r$ la distance de ce point à l’origine. Si $p$ désigne une autre droite de direction arbitraire menée par cette origine, l’équation (13) donnera