![{\displaystyle \int _{-a'}^{+b}y\operatorname {d} x=c\left\{0^{\frac {n-m}{n}}-(-a')^{\frac {n-m}{n}}\right\}+c\left\{b^{\frac {n-m}{n}}-0^{\frac {n-m}{n}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af06e794c4fc6c9ab97254b9bb33e8d8fd922ebf)
![{\displaystyle =c\left(b^{\frac {n-m}{n}}+a'^{\frac {n-m}{n}}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77823dee0dd88e7bdcca9a0976cf5807de2d5c51)
d’où l’on voit (et c’est sur quoi nous désirons principalement fixer l’attention) qu’on aurait pu obtenir directement ce résultat par une seule intégration, prise depuis
jusqu’à
sans avoir égard au passage de
par l’infini ; ce qui tient à la circonstance déjà indiquée que l’origine naturelle de l’intégrale se trouve au point zéro, quel que soit le signe de l’abscisse
les deux termes de cette intégrale représentant alors respectivement les espaces
et ![{\displaystyle \mathrm {YOP'A'.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bac93441fcd329c44ef521ee0089a2a210d878d5)
Lorsqu’au contraire on a
et par suite
l’origine naturelle de l’intégrale ne se trouve plus à l’origine des coordonnées ; elle est située sur l’axe des
à l’infini négatif pour les abscisses négatives et à l’infini positif pour les abscisses positives, comme il est facile de le voir, en cherchant les conditions nécessaires pour que la constante soit nulle. Il résulte de là que l’intégrale
![{\displaystyle \int _{+a}^{+b}y\operatorname {d} x=-c\left(b^{\frac {n-m}{n}}-a^{\frac {n-m}{n}}\right)=c\left(a^{\frac {n-m}{n}}-b^{\frac {n-m}{n}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6e0f0ca876e83e3efd01bb97617e102b42d5105)
représente la différence des espaces
et
et que l’intégrale
![{\displaystyle \int _{-a'}^{-b'}y\operatorname {d} x=-c\left\{(-b')^{\frac {n-m}{n}}-(-a')^{\frac {n-m}{n}}\right\}=c\left(b'^{\frac {n-m}{n}}-a'^{\frac {n-m}{n}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06597de77f9c8b1cc4008b3ba8feec2fc8c96dae)
représente la différence des espaces
et
Il n’est donc plus possible alors d’obtenir l’intégrale
par une seule intégra-