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$4S_{2}={\frac {n-1}{1}}.{\frac {n-2}{2}}S_{1}.$

Or, si l’en considère que, dans le présent §., les sommets ne se trouvent assujettis à aucun ordre de succession déterminé, on verra que l’équation que nous venons d’obtenir revient au théorème suivant : Des points, en nombre quelconque, étant situés d’une manière quelconque dans l’espace, si l’on joint ces points deux à deux par des droites, de toutes les manières possibles, puis les milieux de ces droites deux à deux par d’autres droites, de toutes les manières possibles, le quadruple de la somme des quarrés de ces dernières droites sera égal à autant de fois la somme des quarrés des premières qu’un nombre de choses inférieur d’une unité à celui des points dont il, agit peut donner de combinaisons deux à deux^[1].

§. V.

Présentement, soit éliminé le côté $r_{1}$ entre les équations (2), prises deux à deux, il viendra

$\left.{\begin{aligned}&r_{2}\left(\operatorname {Cos} .\beta _{1}\operatorname {Cos} .\gamma _{2}-\operatorname {Cos} .\gamma _{1}\operatorname {Cos} .\beta _{2}\right)\\&\qquad +r_{3}\left(\operatorname {Cos} .\beta _{1}\operatorname {Cos} .\gamma _{3}-\operatorname {Cos} .\gamma _{1}\operatorname {Cos} .\beta _{3}\right)+\ldots =0,\\&r_{2}\left(\operatorname {Cos} .\gamma _{1}\operatorname {Cos} .\alpha _{2}-\operatorname {Cos} .\alpha _{1}\operatorname {Cos} .\gamma _{2}\right)\\&\qquad +r_{3}\left(\operatorname {Cos} .\gamma _{1}\operatorname {Cos} .\alpha _{3}-\operatorname {Cos} .\alpha _{1}\operatorname {Cos} .\gamma _{3}\right)+\ldots =0,\\&r_{2}\left(\operatorname {Cos} .\alpha _{1}\operatorname {Cos} .\beta _{2}-\operatorname {Cos} .\beta _{1}\operatorname {Cos} .\alpha _{2}\right)\\&\qquad +r_{3}\left(\operatorname {Cos} .\alpha _{1}\operatorname {Cos} .\beta _{3}-\operatorname {Cos} .\beta _{1}\operatorname {Cos} .\alpha _{3}\right)+\ldots =0.\end{aligned}}\right\}(6)$

1. C’est le théorème de la page 272 du présent volume. M. Gerono, en nous l’adressant, en a pris occasion de relever une méprise de Carnot qui, dans sa Géométrie de position, page 331, a énoncé ce théorème, sous le n.^o XXXI, d’une manière défectueuse.
   J. D. G.