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X_{1}^{'2}+Y_{1}^{'2}+Z_{1}^{'2}={\frac {(n-1)^{2}}{4}}\left(X_{1}^{2}+Y_{1}^{2}+Z_{1}^{2}\right).

2.^o On aura, par les mêmes considérations,

{\begin{aligned}X'_{2}&=\left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {x_{2}+x_{3}}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {x_{3}+x_{4}}{2}}\right)^{2}+\ldots +\left({\frac {x_{n-1}+x_{n}}{2}}\right)^{2}\\\\&+\left({\frac {x_{1}+x_{3}}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {x_{2}+x_{4}}{2}}\right)^{2}+\ldots +\left({\frac {x_{n-2}+x_{n}}{2}}\right)^{2}\\\\&+\left({\frac {x_{1}+x_{4}}{2}}\right)^{2}+\ldots +\left({\frac {x_{n-3}+x_{n}}{2}}\right)^{2}\\&\ldots \ldots \ldots \\&+\left({\frac {x_{1}+x_{n}}{2}}\right)^{2}.\end{aligned}}

En faisant, pour un moment, abstraction des doubles produits qui naîtront du développement des quarrés, nous nous trouverons dans le même cas que ci-dessus avec cette seule différence que les quarrés des coordonnées $x_{1},x_{2},\ldots x_{n}$ se trouveront substitués à leurs premières puissances, et que le dénominateur commun sera $4\,;$ de sorte qu’il y a d’abord, dans le développement de $X'_{2},$

{\frac {n-1}{4}}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}\right)={\frac {n-1}{4}}X_{2}.

Mais il s’y trouve de plus

{\frac {x_{1}x_{2}}{2}}+{\frac {x_{2}x_{3}}{2}}+{\frac {x_{3}x_{4}}{2}}+\ldots +{\frac {x_{n-1}x_{n}}{2}}\,;