Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1824-1825, Tome 15.djvu/327

${\begin{aligned}&a''_{1}r_{1}+a''_{2}r_{2}+a''_{3}r_{3}+\ldots +a''_{n}r_{n}=a_{1}r_{1}+a_{2}r_{2}+a_{3}r_{3}+\ldots +a_{n}r_{n},\\&b''_{1}r_{1}\,+b''_{2}r_{2}\,+b''_{3}r_{3}+\ldots +b''_{n}r_{n}=b_{1}r_{1}\,+b_{2}r_{2}\,+b_{3}r_{3}+\ldots +b_{n}r_{n},\\&c''_{1}r_{1}\,+c''_{2}r_{2}\,+c''_{3}r_{3}+\ldots +c''_{n}r_{n}=c_{1}r_{1}\,+c_{2}r_{2}\,+c_{3}r_{3}+\ldots +c_{n}r_{n}\,;\end{aligned}}$

d’où on conclut ce théorème : Si, par des points pris à volonté dans l’espace, on mène des droites d’une même longueur quelconque, respectivement parallèles aux côtés d’un polygone rectiligne fermé quelconque, plan ou gauche, le centre de gravité d’un système de poids respectivement parallèle aux longueurs de ces côtés sera le même, soit que ces poids soient situés aux points où ces droites se terminant, ou qu’on les place à leurs points de départ.

En supposant que les points de départ soient pris respectivement sur les directions des côtés du polygone, on conclura de là que, Si des poids respectivement proportionnels aux longueurs des côtés d’un polygone rectiligne fermé quelconque, plan ou gauche, et placés arbitrairement sur les directions de ces côtés, y parcourent simultanément et dans le même sens des longueurs égales quelconques, leur centre commun de gravité demeurera immobile^[1].

Si l’on suppose, au contraire, que toutes ces droites émanent d’un même point quelconque de l’espace, comme ce point sera à lui-même son centre de gravité, on conclura de la même proposition générale que, Si, dans une sphère, on mène des rayons parallèles aux côtés d’un polygone rectiligne fermé quelconque, plan ou gauche, et qu’on place aux extrémités de ces rayons des poids respectivement proportionnels aux longueurs des côtés auxquels ils

1. C’est l’autre théorème de statique de l’endroit déjà cité.
   J. D. G.