Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1824-1825, Tome 15.djvu/296

${\begin{array}{lr}{\frac {\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(B+C)}{\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}A}}={\frac {\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(b+c)}{\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}a}},&(ix,IX)\\\\{\frac {\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}(B-C)}{\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}A}}={\frac {\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}(b-c)}{\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}a}},&(x,X)\end{array}}$

${\frac {\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}(B+C)}{\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}A}}={\frac {\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(b-c)}{\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}a}},(xi)\quad {\frac {\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}(b+c)}{\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}a}}={\frac {\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(B-C)}{\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}A}}.(XI)$

on reconnaît là les quatre formules trouvées par M. Gauss et Delambre, chacun de leur côté^[1].

De ces formules, on conclut, par division,

$\left.{\begin{aligned}&\operatorname {Tang} .{\frac {1}{2}}(B+C)={\frac {\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(b-c)}{\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(b+c)}}\operatorname {Cot} .{\frac {1}{2}}A,\\\\&\operatorname {Tang} .{\frac {1}{2}}(B-C)={\frac {\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}(b-c)}{\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}(b+c)}}\operatorname {Cot} .{\frac {1}{2}}A,\end{aligned}}\right\}\quad (xii)$

$\left.{\begin{aligned}&\operatorname {Tang} .{\frac {1}{2}}(b+c)={\frac {\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(B-C)}{\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(B+C)}}\operatorname {Tang} .{\frac {1}{2}}a,\\\\&\operatorname {Tang} .{\frac {1}{2}}(b-c)={\frac {\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}(B-C)}{\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}(B+C)}}\operatorname {Tang} .{\frac {1}{2}}a.\end{aligned}}\right\}\quad (XII)$

Ce sont les analogies de Néper, qui complètent la série des formules usuelles nécessaires pour la résolution arithmétique des triangles.

1. Voyez, sur ce sujet, Theoria motûs corporum cœlestium, etc., de Gauss, page 51, la Connaissance des temps pour 1808, ou celle de 1812, page 349, ou la grande Astronomie de Delambre, tome I, page 157, ou l’Abrégé, page 110, ou encore la page 351 du III.^e volume du présent recueil.