![{\displaystyle {\frac {\operatorname {Sin} .A}{\operatorname {Sin} .a}}={\frac {\operatorname {Sin} .B}{\operatorname {Sin} .b}}={\frac {\operatorname {Sin} .C}{\operatorname {Sin} .c}}.\qquad (ii)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfb9df72fe69dbaef99e2aebfe9509da15479f7d)
On peut tirer la même chose de la formule (I). Elle donne en effet,
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&\operatorname {Sin} .C\operatorname {Sin} .A\operatorname {Cos} .b=\operatorname {Cos} .B+\operatorname {Cos} .C\operatorname {Cos} .A,\\&\operatorname {Sin} .A\operatorname {Sin} .B\operatorname {Cos} .c=\operatorname {Cos} .C+\operatorname {Cos} .A\operatorname {Cos} .B\,;\end{aligned}}\right\}\quad (40)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f63c50177edc9d7ba73ff9bcb655ff02e49297c3)
d’où, en ajoutant et retranchant successivement,
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {Sin} .A(\operatorname {Sin} .C\operatorname {Cos} .b+\operatorname {Sin} .B\operatorname {Cos} .c)=(1+\operatorname {Cos} .A)(\operatorname {Cos} .B+\operatorname {Cos} C),\\&\operatorname {Sin} .A(\operatorname {Sin} .C\operatorname {Cos} .b-\operatorname {Sin} .B\operatorname {Cos} .c)=(1-\operatorname {Cos} .A)(\operatorname {Cos} .B-\operatorname {Cos} C)\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7089d9f2cbd4abeed6b94084dfde06c31c4fde46)
ce qui donne, en multipliant membre à membre et simplifiant
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .^{2}C\operatorname {Cos} .^{2}b-\operatorname {Sin} .^{2}B\operatorname {Cos} .^{2}c=\operatorname {Cos} .^{2}B-\operatorname {Cos} .^{2}C=\operatorname {Sin} .^{2}C-\operatorname {Sin} .^{2}B\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/326c20ddada2cd6494676a165f68e6ca3abd5eed)
ou bien, en transposant,
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .^{2}B\left(1-\operatorname {Cos} .^{2}c\right)=\operatorname {Sin} .^{2}C\left(1-\operatorname {Cos} .^{2}b\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/850f91147d582002f074d85d8f81a78198865eb6)
ou encore
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .^{2}B\operatorname {Sin} .^{2}c=\operatorname {Sin} .^{2}C\operatorname {Sin} .^{2}b\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0226d57247a97aeda373ff40cf169c105342332d)
ce qui donne, par l’extraction des racines et la permutation des lettres,
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {Sin} .a}{\operatorname {Sin} .A}}={\frac {\operatorname {Sin} .b}{\operatorname {Sin} .B}}={\frac {\operatorname {Sin} .c}{\operatorname {Sin} .C}}\,;\qquad (II)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be677b67eb9281a60e0f9aa47d47fa577b70d287)
double égalité qui revient à celle que nous avons trouvée plus haut.
En éliminant
entre les deux équations (39), mettant pour