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${\frac {\operatorname {Sin} .A}{\operatorname {Sin} .a}}={\frac {\operatorname {Sin} .B}{\operatorname {Sin} .b}}={\frac {\operatorname {Sin} .C}{\operatorname {Sin} .c}}.\qquad (ii)$

On peut tirer la même chose de la formule (I). Elle donne en effet,

$\left.{\begin{aligned}&\operatorname {Sin} .C\operatorname {Sin} .A\operatorname {Cos} .b=\operatorname {Cos} .B+\operatorname {Cos} .C\operatorname {Cos} .A,\\&\operatorname {Sin} .A\operatorname {Sin} .B\operatorname {Cos} .c=\operatorname {Cos} .C+\operatorname {Cos} .A\operatorname {Cos} .B\,;\end{aligned}}\right\}\quad (40)$

d’où, en ajoutant et retranchant successivement,

${\begin{aligned}&\operatorname {Sin} .A(\operatorname {Sin} .C\operatorname {Cos} .b+\operatorname {Sin} .B\operatorname {Cos} .c)=(1+\operatorname {Cos} .A)(\operatorname {Cos} .B+\operatorname {Cos} C),\\&\operatorname {Sin} .A(\operatorname {Sin} .C\operatorname {Cos} .b-\operatorname {Sin} .B\operatorname {Cos} .c)=(1-\operatorname {Cos} .A)(\operatorname {Cos} .B-\operatorname {Cos} C)\,;\end{aligned}}$

ce qui donne, en multipliant membre à membre et simplifiant

$\operatorname {Sin} .^{2}C\operatorname {Cos} .^{2}b-\operatorname {Sin} .^{2}B\operatorname {Cos} .^{2}c=\operatorname {Cos} .^{2}B-\operatorname {Cos} .^{2}C=\operatorname {Sin} .^{2}C-\operatorname {Sin} .^{2}B\,;$

ou bien, en transposant,

$\operatorname {Sin} .^{2}B\left(1-\operatorname {Cos} .^{2}c\right)=\operatorname {Sin} .^{2}C\left(1-\operatorname {Cos} .^{2}b\right)\,;$

ou encore

$\operatorname {Sin} .^{2}B\operatorname {Sin} .^{2}c=\operatorname {Sin} .^{2}C\operatorname {Sin} .^{2}b\,;$

ce qui donne, par l’extraction des racines et la permutation des lettres,

${\frac {\operatorname {Sin} .a}{\operatorname {Sin} .A}}={\frac {\operatorname {Sin} .b}{\operatorname {Sin} .B}}={\frac {\operatorname {Sin} .c}{\operatorname {Sin} .C}}\,;\qquad (II)$

double égalité qui revient à celle que nous avons trouvée plus haut.

En éliminant $\operatorname {Cos} .b$ entre les deux équations (39), mettant pour