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en déduit en changeant continuellement $a$ et $A$ en $b$ et $B,$ $B$ et $b$ en $c$ et $C,$ $c$ et $C$ en $a$ et $A,$ comme si l’on tournait sur la circonférence d’un cercle, où seraient écrites de suite les lettres $a,b,c$ ou les lettres $A,B,C.$

Au moyen de cette remarque, la formule (i) donne

$\left.{\begin{aligned}&\operatorname {Sin} .c\operatorname {Sin} .a\operatorname {Cos} .B=\operatorname {Cos} .b-\operatorname {Cos} .c\operatorname {Cos} .a,\\&\operatorname {Sin} .a\operatorname {Sin} .b\operatorname {Cos} .C=\operatorname {Cos} .c-\operatorname {Cos} .a\operatorname {Cos} .b\,;\end{aligned}}\right\}\quad (39)$

d’où, en ajoutant et retranchant, tour-à-tour, et décomposant,

${\begin{aligned}&\operatorname {Sin} .a(\operatorname {Sin} .c\operatorname {Cos} .B+\operatorname {Sin} .b\operatorname {Cos} .C)=(1-\operatorname {Cos} .a)(\operatorname {Cos} .b+\operatorname {Cos} c),\\&\operatorname {Sin} .a(\operatorname {Sin} .c\operatorname {Cos} .B-\operatorname {Sin} .b\operatorname {Cos} .C)=(1+\operatorname {Cos} .a)(\operatorname {Cos} .b-\operatorname {Cos} c)\,;\end{aligned}}$

multipliant ces deux dernières équations membre à membre, simplifiant, on aura

$\operatorname {Sin} .^{2}c\operatorname {Cos} .^{2}B-\operatorname {Sin} .^{2}b\operatorname {Cos} .^{2}C=\operatorname {Cos} .^{2}b-\operatorname {Cos} .^{2}c=\operatorname {Sin} .^{2}c-\operatorname {Sin} .^{2}b,$

ou, en transposant,

$\operatorname {Sin} .^{2}b\left(1-\operatorname {Cos} .^{2}C\right)=\operatorname {Sin} .^{2}c\left(1-\operatorname {Cos} .^{2}B\right)\,;$

ou enfin

$\operatorname {Sin} .^{2}b\operatorname {Sin} .^{2}C=\operatorname {Sin} .^{2}c\operatorname {Sin} .^{2}B.$

En extrayant les racines des deux membres de cette dernière équation, on lèvera l’ambiguïté qui naît des doubles signes en remarquant que, dans le cas particulier où $b=c,$ on doit avoir aussi $B=C.$ On trouvera ainsi

$\operatorname {Sin} .b\operatorname {Sin} .C=\operatorname {Sin} .c\operatorname {Sin} .B\,;$

d’où, par la permutation des lettres,