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$2\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+\ldots +g^{2}+h^{2}\right)+2(ab+bc+\ldots +gh+ha)\operatorname {Cos} .\varepsilon .$

Or, il a été démontré ci-dessus que $a^{2}+b^{2}+c^{2}+\ldots +g^{2}+h^{2}$ était une quantité constante, et nous venons de démontrer la même chose de $ab+bc+\ldots +gh+ha\,;$ on a donc cet autre théorème :

THÉORÈME. De quelque point d’une circonférence concentrique à un polygone régulier donné qu’on abaisse des perpendiculaires sur les directions de ses côtés, la somme des quarrés des côtés du polygone irrégulier inscrit dont les sommets consécutifs seront les pieds de ces perpendiculaires, demeurera constante.

Le tour de raisonnement qui nous a conduit à la démonstration de ces divers théorèmes peut être employé à démontrer un grand nombre de théorèmes analogues, parmi lesquels nous nous bornerons à indiquer le suivant :

THÉORÈME. Une circonférence concentrique à un polygone régulier donné est le lieu géométrique des points de chacun desquels menant des droites à tous ses sommets, la somme des puissances paires du même degré des longueurs de ces droites est une grandeur constante ; pourvu toutefois que l’exposant commun de ces puissances paires soit inférieur au nombre des côtés du polygone régulier donné.