Du point comme centre, et avec sa distance au point pour rayon, soit décrit une circonférence Du même point soient menées des droites à tous les sommets ; ces droites diviseront la circonférence en parties égales. Or, excepté le cas où le point, se trouverait le milieu de l’une des divisions, ce point sera plus près de l’un des points de division que de tous les autres. Soit pris, de l’autre côté de ce point de division, un second point qui en soit à la même distance que le point de sorte que le point de division dont il s’agit soit le milieu de l’arc Soient enfin déterminés, pour chacun des autres points de division de la circonférence des points et et et qui soient situés par rapport à eux de la même manière que le sont les points et par rapport au premier. Il est manifeste que la circonférence sera aussi divisée en parties égales soit par les points soit par les points Il n’est pas moins évident que les points de ces deux séries seront tous des points semblablement situés par rapport au polygone dont il s’agit ; d’où il suit que les perpendiculaires abaissées de l’un quelconque d’entre eux, autre que le point sur les directions des côtés de ce polygone seront, une à une, égales aux perpendiculaires abaissées de ce point, sur ces mêmes côtés. Il arrivera seulement que les perpendiculaires égales, dans les deux séries, correspondront à des côtés différens.
Concluons de là que la somme des n.mes puissances des perpendiculaires abaissées de l’un quelconque des points autre que le point sur les directions des côtés du polygone est égale à la somme des n.mes puissances des perpendiculaires abaissées de ce point, sur ces mêmes directions, et qu’ainsi ces points doivent tous appartenir à la courbe cherchée, qui doit conséquemment couper en points au moins la circonférence si toutefois elle ne se confond pas avec elle.
Or, un cercle, qui est une ligne du second ordre, ne saurait être coupé en points au moins que par une ligne qui soit
