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des conséquences très-différentes de plusieurs résultats admis jusqu’ici comme exacts. Le hazard ayant fait que, sans connaître le travail de M. Vincent, je me suis aussi occupé d’un sujet analogue, je vais ajouter ici quelques observations à celles que j’ai eu l’honneur de vous communiquer dans ma dernière lettre, en tâchant par là d’éclaircir le point principal du mémoire de M. Vincent sur les courbes transcendantes.

§. I. Sur les exposans fractionnaires.

Les deux fractions ${\frac {m}{n}}$ et ${\frac {mp}{np}}$ sont essentiellement les mêmes, et donnent cependant des résultats différens lorsqu’on les emploie comme exposans d’une seule et même quantité. En effet, $a^{\frac {m}{n}}$ n’a que $n$ valeurs différentes, tandis que $a^{\frac {mp}{np}}$ en a $np.$ Dans ces $np$ valeurs sont comprises les $n$ valeurs de $a^{\frac {m}{n}},$ de sorte que l’expression $a^{\frac {mp}{np}}$ est plus générale que l’expression $a^{\frac {m}{n}}$ ^[1].

D’après cela, la valeur d’une puissance fractionnaire dépend à la fois de la valeur absolue et de la forme de son exposant ; de sorte que, pour caractériser une puissance fractionnaire d’une

↑ On serait tenté de croire, d’après cela ; qu’il n’est pas permis de multiplier par un même nombre les deux termes d’un exposant fractionnaire, ainsi qu’on le pratique dans la multiplication des radicaux ; mais on peut observer que, dans le produit $a^{\frac {m}{n}}.a^{\frac {p}{q}},$ les $n$ valeurs du premier facteur se combinant avee les $q$ valeurs du dernier, ce produit doit par-là même avoir $nq$ valeurs. Lors donc que, suivant les procédés connus, on lui substitue $a^{\frac {mq+np}{nq}},$ on ne lui fait pas acquérir des valeurs plus nombreuses que celles qu’il avait avant cette transformation.
J. D. G.

[1] On serait tenté de croire, d’après cela ; qu’il n’est pas permis de multiplier par un même nombre les deux termes d’un exposant fractionnaire, ainsi qu’on le pratique dans la multiplication des radicaux ; mais on peut observer que, dans le produit $a^{\frac {m}{n}}.a^{\frac {p}{q}},$ les $n$ valeurs du premier facteur se combinant avee les $q$ valeurs du dernier, ce produit doit par-là même avoir $nq$ valeurs. Lors donc que, suivant les procédés connus, on lui substitue $a^{\frac {mq+np}{nq}},$ on ne lui fait pas acquérir des valeurs plus nombreuses que celles qu’il avait avant cette transformation.
J. D. G.

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