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fonctions qui doivent être employées pour toutes les valeurs positives et négatives de $x,$ de la manière qui a été expliquée ci-dessus (12).

Cela posé, la fonction ${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}$ prend la forme ${\frac {0}{0}}\operatorname {l} \infty$ pour $(x=0,y=0)$ et la forme ${\frac {\infty }{0}}\operatorname {l} \infty$ pour $(x=0,y=s\infty ).$ Ce dernier résultat, évidemment infini, indique que l’axe des $y$ est asymptote de la branche ponctuée, à laquelle il correspond, comme on le savait déjà. Quant au premier, pour avoir sa véritable valeur, remarquons qu’en général la fonction ${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}$ peut être mise sous la forme ${\frac {y\left(\operatorname {l} y\right)^{2}}{\left(\operatorname {l} x\right)^{2}}}\operatorname {l} {\frac {e}{x}},$ et que $\operatorname {l} {\frac {e}{x}}=\operatorname {l} e-\operatorname {l} x,$ qui, à la limite, se réduit à $-\operatorname {l} x\,;$ d’où résulte, à cette même limite, ${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=-y\left(\operatorname {l} y\right)^{2}.{\frac {1}{\operatorname {l} x}}.$ Or, quand $y=0,$ on a $y\left(\operatorname {l} \right)^{2}=0$ et $\operatorname {l} x=\infty \,;$ donc ${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=0\,;$ ainsi la branche continue touche l’axe des $x$ à l’origine. Ce point offre donc analogue à celui que nous avons rencontré (fig. 7) et présente en outre, comme nous l’avons déjà remarqué (fig. 8), la circonstance d’un changement de nature de la courbe.

Pour $x=1,$ on trouve ${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=1,$ c’est-à-dire qu’en cet endroit la tangente fait des angles demi-droits avec les deux axes, et passe en outre par l’origine, puisque $y=1.$ Si l’on fait $x=e,$ on a ${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=0,$ ce qui indique un maximum, comme on le vérifiera par la discussion de la fonction ${\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}.$ Enfin, si l’on fait $x=\infty ,$ d’où $y=1,$ on a ${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=0,$ comme cela doit être, à cause de l’asymptote.

Considérons présentement les valeurs de ${\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}$ qui répondent aux diverses valeurs positives de $x,$ en nous bornant toujours à la