Tout étant supposé comme ci-dessus (fig. 3), soit d’abord supposé le point 
dans l’intérieur du cercle réfringent, ce qui donne 
Élevons la perpendiculaire 
à l’axe 
L’angle 
étant égal à l’angle 
sera tangente au cercle 
et l’angle 
sera la plus grande valeur que puisse prendre l’angle d’incidence 
qui est toujours égal à 
Concevons décrit le cercle 
pour chaque point 
d’incidence ; il faudra supposer successivement que le point tombe sur l’arc 
puis sur l’arc 
en se rappelant que l’angle 
ne peut devenir obtus.
Si l’on a 
il s’ensuit 
le point 
tombe toujours sur l’arc 
quel que soit 
la caustique formée par les rayons réfractés est alors la développée de la courbe (2).
Si l’on a 
et 
est compris entre 
et 
le point tombe sur l’arc 
quel que soit la caustique répond alors à la courbe (1).
Soit enfin et 
d’où 
et 
Si le point d’incidence tombe sur l’arc 
on voit que la caustique est la développée de la courbe (1) ; et, s’il tombe sur elle devient celle de la courbe (3). L’angle d’incidence a ici une limite au-dessous de 
qu’on obtient en faisant 
dans la formule 
d’où 
ou 
Examinons maintenant ce qui a lieu (fig. 4 et 5), quand le point est extérieur au cercle, d’où résulte 
Soit alors tangente au cercle 
il est clair que les rayons qui partent du point ne pourront pas tomber, à la fois, sur les deux arcs 
et 
ils tomberont seulement sur l’un ou sur l’autre. D’après cela, si l’on suppose décrit le cercle 
pour chaque point 
en se rappelant que les angles 
sont toujours de même espèce, et que le premier est obtus ou aigu, suivant que tombe sur ou sur on parviendra aux résultats suivans.
Les rayons incidens tombant sur l’arc si l’on a la
