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4.^o Que, dans la somme quatrième, les coefficiens sont la somme des nombres tétraèdres $1,4,10,20,\ldots \,;$

Et ainsi de suite.

De sorte que généralement, dans la somme n.^me les coefficiens sont les nombres figurés du n.^me ordre.

Si donc nous désignons, en général, par $\varphi (p,q)$ le q.^me nombre figuré du p.^me ordre, et par $\Sigma (n,r)$ le r.^me terme de la somme n.^me de $(\alpha ),$ nous aurons

$\Sigma (n,r)=M_{r}a^{r}+\varphi (n,2)M_{r-1}a^{r-1}b+\varphi (n,3)M_{r-2}a^{r-2}b^{2}+\ldots \varphi (n,r+1)b^{r}.$(X)

Le terme général de cette série est $\varphi (n,i+1)M_{r-i}a^{r-i}b^{i}.$

Cela posé, on sait que

$M_{r}={\frac {m-r+1}{r}}M_{r-1},\quad$d’où$\quad M_{r-1}={\frac {r}{m-r+1}}M_{r}\,;$

de là on tire, en changeant continuellement, en $r$ en $r-1$

${\begin{aligned}&M_{r-1}={\frac {r}{m-r+1}}M_{r},\\\\&M_{r-2}={\frac {r}{m-r+1}}.{\frac {r-1}{m-r+2}}M_{r},\\\\&M_{r-3}={\frac {r}{m-r+1}}.{\frac {r-1}{m-r+2}}.{\frac {r-2}{m-r+3}}M_{r},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&M_{r-i}={\frac {r}{m-r+1}}.{\frac {r-1}{m-r+2}}.{\frac {r-2}{m-r+3}}\ldots {\frac {r-i+1}{m-r+i}}M_{r}.\end{aligned}}$

Par la substitution de ces valeurs, la série (X) deviendra