Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1824-1825, Tome 15.djvu/20

Si l’on prend les différentielles première et seconde des deux membres de l’équation proposée, on trouve

$y=x^{x},\quad {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=y\operatorname {l} .ex,\quad {\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}=y\left\{\left(\operatorname {l} .ex\right)^{2}+{\frac {1}{x}}\right\}.$

Les deux coefficiens différentiels paraissant devenir imaginaires pour toutes les valeurs négatives de $x,$ ne sembleraient pas propres à discuter le cours des branches ponctuées ; mais on peut remarquer que la branche ponctuée située du côté des $y$ positives deviendrait continue, sans changer de forme, si l’on prenait pour son équation $y=(-x)^{x},$ d’où

${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=y\operatorname {l} (-ex),\qquad {\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}=y\left\{\left[\operatorname {l} (-ex)\right]^{2}+{\frac {1}{x}}\right\}\,;$

fonctions de même forme que les précédentes et qui sont réelles précisément lorsque les premières sont imaginaires. Il en résulte, que les premières formules peuvent être employées à la discussion des branches ponctuées, pourvu que l’on convienne de prendre les logarithmes des valeurs négatives de $x$ comme si ces valeurs étaient positives. Cette observation est d’ailleurs parfaitement d’accord avec ce que nous avons déjà dit (6) qu’au lieu de l’équation $y=as^{x},$ on pouvait, dans la discussion, employer l’équation $\pm y=a^{x},$ quel que fût $x\,;$ ce qui revient évidemment à considérer $x$ comme étant à la fois le logarithme de $+y$ et celui de $-y,$ pour la base $a.$ C’est, au surplus, un point sur lequel nous reviendrons plus loin.

Cela posé, la valeur de ${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}$ devient nulle, 1.^o quand $y=0,$ ainsi que cela doit être, puisqu’alors $x=\infty$ et que la branche ponctuée a $\mathrm {OX'}$ pour asymptote. Elle devient encore nulle, 2.^o lorsqu’on a $\operatorname {l} .ex=0,$ d’où $x=\pm {\frac {1}{e}}$ et ${\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}=\pm ey,$ ce qui indique un minimum pour la branche continue et un maximum pour la