multipliant par
et intégrant depuis
jusqu’à
on aura
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left\{\operatorname {F} \left({\frac {e^{x{\sqrt {-1}}}}{e^{x}}}\right)+\operatorname {F} \left({\frac {e^{-x{\sqrt {-1}}}}{e^{x}}}\right)\right\}\operatorname {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e683d4b27e087af5068789bfa604a1dc6d8aa4bf)
![{\displaystyle ={\frac {\operatorname {F} '(0)}{1}}+{\frac {\operatorname {F} ''(0)}{1.2^{2}}}+{\frac {\operatorname {F} '''(0)}{1.2.3^{2}}}+{\frac {\operatorname {F} ''''(0)}{1.2.3.4^{2}}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d206a469cef6ffd151c55c852ff0f654ffdf83e)
Mais on a aussi
![{\displaystyle \operatorname {F} \left(e^{-x}\right)=\operatorname {F} '(0).{\frac {e^{-x}}{1}}+\operatorname {F} ''(0).{\frac {e^{-2x}}{1.2}}+\operatorname {F} '''(0).{\frac {e^{-3x}}{1.2.3}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb45b03cfee3a913c7cb57d56563a91f3297a937)
observant qu’en général
![{\displaystyle \int _{0}^{\varpi }e^{-nx}.\operatorname {d} x={\frac {1}{n}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2913140d72fbabe8867de978ecc49c6706541a3f)
multipliant par
et intégrant depuis
jusqu’à
on aura aussi
![{\displaystyle \int _{0}^{\varpi }\operatorname {F} \left(e^{-x}\right)\operatorname {d} x={\frac {\operatorname {F} '(0)}{1}}+{\frac {\operatorname {F} ''(0)}{1.2^{2}}}+{\frac {\operatorname {F} '''(0)}{1.2.3^{2}}}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ec0deb46a7dff6b9dccc744ef2e6001edf0f316)
de sorte que
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left\{\operatorname {F} \left({\frac {e^{x{\sqrt {-1}}}}{e^{x}}}\right)+\operatorname {F} \left({\frac {e^{-x{\sqrt {-1}}}}{e^{x}}}\right)\right\}\operatorname {d} x=\int _{0}^{\infty }\operatorname {F} \left(e^{-x}\right)\operatorname {d} x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/169d1aa92307ac111fdff5fe7961a47e365e53d6)
Cela posé, soit
il suffira que
ne soit pas infinie pour
et soit développable suivant les puissances entières de
L’équation précédente deviendra