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fait voir d’ailleurs que cette fonction n’est pas entièrement arbitraire, et qu’elle doit être développable en série convergente, procédant suivant les puissances entières de $z.$

Soit, pour en donner un exemple, $\varphi (z)=ze^{az},$ on aura

$-{\sqrt {-1}}\int _{0}^{\varpi }e^{x{\sqrt {-1}}}.\varphi \left(e^{x{\sqrt {-1}}}\right)\operatorname {d} x=-{\sqrt {-1}}.\int _{0}^{\varpi }e^{2x{\sqrt {-1}}}.e^{ae^{x{\sqrt {-1}}}}\operatorname {d} x,$

et, en séparant la partie imaginaire de la partie réelle,

$-{\sqrt {-1}}\int _{0}^{\varpi }e^{x{\sqrt {-1}}}.\varphi \left(e^{x{\sqrt {-1}}}\right)\operatorname {d} x$

$=e^{a\operatorname {Cos} .x}.\operatorname {Sin} .(2x+a\operatorname {Sin} .x)-{\sqrt {-1}}e^{a\operatorname {Cos} .x}.\operatorname {Cos} .(2x+a\operatorname {Sin} .x)$

de sorte qu’on aura, par l’équation (P),

$\int _{-1}^{+1}ze^{az}\operatorname {d} z$

$=\int _{0}^{\varpi }e^{a\operatorname {Cos} .x}.\operatorname {Sin} .(2x+a\operatorname {Sin} .x)-{\sqrt {-1}}\int _{0}^{\varpi }e^{a\operatorname {Cos} .x}.\operatorname {Cos} .(2x+a\operatorname {Sin} .x).$

L’intégration par partie donne

$\int _{-1}^{+1}ze^{az}\operatorname {d} z=e^{a}\left({\frac {1}{a}}-{\frac {1}{a^{2}}}\right)+e^{-a}\left({\frac {1}{a}}+{\frac {1}{a^{2}}}\right)\,;$

on a donc

$\int _{0}^{\varpi }e^{a\operatorname {Cos} .x}.\operatorname {Sin} .(2x+a\operatorname {Sin} .x)\operatorname {d} x=e^{a}\left({\frac {1}{a}}-{\frac {1}{a^{2}}}\right)+e^{-a}\left({\frac {1}{a}}+{\frac {1}{a^{2}}}\right)$

$\int _{0}^{\varpi }e^{a\operatorname {Cos} .x}.\operatorname {Cos} .(2x+a\operatorname {Sin} .x)\operatorname {d} x=0.$

En faisant $\varphi (z)=z^{n}.e^{az},\ n$ étant un nombre entier quelconque, on obtiendrait les valeurs des intégrales