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Mais l’équation (P), obtenue en faisant passer la variable $z,$ toujours réelle, par une série de valeurs imaginaires, ne serait pas suffisamment établie, s’il n’y avait, pour y parvenir, une marche où les imaginaires ne se montrassent qu’en apparence, et qui fît voir en outre à quelle restriction la fonction $\varphi$ doit être assujettie.

Supposons $\varphi (z)$ développable suivant les puissances entières de $z,$ on aura, par la série de Taylor que nous supposons convergente,

$e^{x{\sqrt {-1}}}.\varphi \left(e^{x{\sqrt {-1}}}\right)+e^{-x{\sqrt {-1}}}.\varphi \left(e^{-x{\sqrt {-1}}}\right)$

$=2\left\{\varphi (0).\operatorname {Cos} .x+{\frac {\varphi '(0).\operatorname {Cos} .2x}{1}}+{\frac {\varphi ''(0).\operatorname {Cos} .3x}{1.2}}+\ldots \right\}\,;$

observant qu’en général, lorsque $n$ est entier,

$\int _{0}^{\varpi }\operatorname {Cos} .nx.\operatorname {d} x=0,$

multipliant par $\operatorname {d} x$ et intégrant depuis $0$ jusqu’à $\varpi ,$ il viendra

$\int _{0}^{\varpi }\left\{e^{x{\sqrt {-1}}}.\varphi \left(e^{x{\sqrt {-1}}}\right)+e^{-x{\sqrt {-1}}}.\varphi \left(e^{-x{\sqrt {-1}}}\right)\right\}\operatorname {d} x=0,\quad$(1)

Cela posé, on a aussi

${\frac {e^{x{\sqrt {-1}}}.\varphi \left(e^{x{\sqrt {-1}}}\right)-e^{-x{\sqrt {-1}}}.\varphi \left(e^{-x{\sqrt {-1}}}\right)}{2{\sqrt {-1}}}}$

$=\varphi (0).\operatorname {Sin} .x+{\frac {\varphi '(0).\operatorname {Sin} .2x}{1}}+{\frac {\varphi ''(0).\operatorname {Sin} .3x}{1.2}}+\ldots \,;$

observant que, lorsque $n$ est entier, suivant que ce nombre est pair ou impair, on a