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prenant tour-à-tour la demi-somme et la demi-différence de ces deux équations, il viendra

${\frac {\operatorname {F} (\alpha +p)+\operatorname {F} (\alpha -p)}{2}}=$

$\operatorname {F} (\alpha )+{\frac {p^{2}}{1.2}}\operatorname {F} ''(\alpha )+{\frac {p^{4}}{1.2.3.4}}\operatorname {F} ''''(\alpha )+\ldots \qquad$(C)

${\frac {\operatorname {F} (\alpha +p)-\operatorname {F} (\alpha -p)}{2}}=$

${\frac {p}{1}}\operatorname {F} '(\alpha )+{\frac {p^{3}}{1.2.3}}\operatorname {F} ''''(\alpha )+{\frac {p^{5}}{1.2.3.4.5}}\operatorname {F} ^{\scriptscriptstyle }{\mathrm {V} }(\alpha )+\ldots \qquad$(D)

équations dont les seconds membres sont respectivement, comme l’on voit, les sommes de termes de degrés pairs et de degrés impairs de la série de Taylor.

En multipliant et divisant en même temps le premier membre de l’équation (A) par ${\sqrt {-1}},$ elle prend cette forme

${\frac {1}{2\varpi {\sqrt {-1}}}}\int _{0}^{\varpi }{\frac {\left\{\operatorname {F} \left(\alpha +pe^{x{\sqrt {-1}}}\right)+\operatorname {F} \left(\alpha +pe^{-x{\sqrt {-1}}}\right)\right\}{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .rx}{\operatorname {Sin} .x}}\operatorname {d} x$

$={\frac {p^{r-1}}{1.2\ldots (r-1)}}.\operatorname {F} ^{(r-1)}(\alpha )+{\frac {p^{r-3}}{1.2\ldots (r-3)}}.\operatorname {F} ^{(r-3)}(\alpha )+{\frac {p^{r-5}}{1.2\ldots (r-5)}}.\operatorname {F} ^{(r-5)}(\alpha )+\ldots$

Si l’on ajoute cette équation à l’équation (B) le second membre de leur somme sera, suivant que $r$ sera pair ou impair, la somme de tous les termes de degré impair ou la somme de tous les termes de degré pair de la série de Taylor, c’est-à-dire que cette somme sera égale au second membre de l’équation (D) ou au second membre de l’équation (C).

Quant à la somme des premiers membres, elle sera

${\frac {1}{2\varpi {\sqrt {-1}}}}\int _{0}^{\varpi }{\frac {\begin{aligned}&\left\{\operatorname {F} \left(\alpha +pe^{x{\sqrt {-1}}}\right)-\operatorname {F} \left(\alpha +pe^{-x{\sqrt {-1}}}\right)\right\}\operatorname {Cos} .rx\\+&\left\{\operatorname {F} \left(\alpha +pe^{x{\sqrt {-1}}}\right)+\operatorname {F} \left(\alpha +pe^{-x{\sqrt {-1}}}\right)\right\}{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .rx\end{aligned}}{\operatorname {Sin} .x}}\operatorname {d} x$

ou, en développant,