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$\int _{0}^{\varpi }{\frac {\operatorname {Sin} .(p+q)x-\operatorname {Sin} .(p-q)x}{2\operatorname {Sin} .x}}\operatorname {d} x$ ou $\int _{0}^{\varpi }{\frac {\operatorname {Cos} .px.\operatorname {Sin} .qx}{\operatorname {Sin} .x}}\operatorname {d} x=\varpi .\quad$(4)

De là on peut conclure, en particulier, 1.^o que, quel que soit le nombre entier positif $r,$ les intégrales, en nombre infini

$\int {\frac {\operatorname {Cos} .rx.\operatorname {Sin} .rx}{\operatorname {Sin} .x}}\operatorname {d} x,\ \int {\frac {\operatorname {Cos} .(r+1)x.\operatorname {Sin} .rx}{\operatorname {Sin} .x}}\operatorname {d} x,$

$\int {\frac {\operatorname {Cos} .(r+2)x.\operatorname {Sin} .rx}{\operatorname {Sin} .x}}\operatorname {d} x,\ldots$

ainsi que les intégrales, en nombre infini,

$\int {\frac {\operatorname {Cos} .rx.\operatorname {Sin} .(r+2)x}{\operatorname {Sin} .x}}\operatorname {d} x,\ \int {\frac {\operatorname {Cos} .rx.\operatorname {Sin} .(r+4)x}{\operatorname {Sin} .x}}\operatorname {d} x,$

$\int {\frac {\operatorname {Cos} .rx.\operatorname {Sin} .(r+6)x}{\operatorname {Sin} .x}}\operatorname {d} x,\ldots$

prises entre les limites $0$ et $\varpi$ seront nulles ; et qu’il en sera encore de même des $r-1$ intégrales

$\int {\frac {\operatorname {Cos} .rx.\operatorname {Sin} .x}{\operatorname {Sin} .x}}\operatorname {d} x,\ \int {\frac {\operatorname {Cos} .rx.\operatorname {Sin} .2x}{\operatorname {Sin} .x}}\operatorname {d} x,\ldots \int {\frac {\operatorname {Cos} .rx.\operatorname {Sin} .(r-1)x}{\operatorname {Sin} .x}}\operatorname {d} x\,;$

tandis que les intégrales, en nombre infini,

$\int {\frac {\operatorname {Cos} .rx.\operatorname {Sin} .(r+1)x}{\operatorname {Sin} .x}}\operatorname {d} x,\ \int {\frac {\operatorname {Cos} .rx.\operatorname {Sin} .(r+3)x}{\operatorname {Sin} .x}}\operatorname {d} x,$

$\int {\frac {\operatorname {Cos} .rx.\operatorname {Sin} .(r+5)x}{\operatorname {Sin} .x}}\operatorname {d} x,\ldots$

prises entre les mêmes limites, seront toutes égales à $\varpi .$

2.^o Que, si le nombre entier positif $r$ est pair, les $r-1$ intégrales

$\int {\frac {\operatorname {Cos} .0x.\operatorname {Sin} .rx}{\operatorname {Sin} .x}}\operatorname {d} x,\ \int {\frac {\operatorname {Cos} .2x.\operatorname {Sin} .rx}{\operatorname {Sin} .x}}\operatorname {d} x,\ldots \int {\frac {\operatorname {Cos} .(r-2)x.\operatorname {Sin} .rx}{\operatorname {Sin} .x}}\operatorname {d} x,$

prises toujours entre les limites $0$ et $\varpi ,$ seront nulles, tandis que les $r-1$ autres intégrales