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 Les corrections sont expliquées en page de discussion

$\left.{\begin{aligned}2(\alpha +\beta +\gamma +\delta +\varepsilon +\ldots )&=4+a+2b+3c+4d+5e+\ldots ,\\2(a+b+c+d+e+\ldots )&=4+\alpha +2\beta +3\gamma +4\delta +5\varepsilon +\ldots \end{aligned}}\right\}\quad (4)$

desquelles seules nous allons déduire tant les théorèmes de M. Legendre que tous ceux que nous nous sommes proposés d’y ajouter.

D’abord, ces deux équations peuvent être écrites ainsi

$a+c+e+g+\ldots =$

$2\left\{(\alpha +\beta +\gamma +\ldots )-2-(b+c)-2(d+e)-3(f+g)-\ldots \right\},$

$\alpha +\gamma +\varepsilon +\eta +\ldots =$

$2\left\{(a+b+c+\ldots )-2-(\beta +\gamma )-2(\delta +\varepsilon )-3(\zeta +\eta )-\ldots \right\}\,;$

d’où il suit que

II. Dans tout polyèdre, les faces d’un nombre impair de côtés sont toujours en nombre pair.

$\ \$

II. Dans tout polyèdre, les sommets d’un nombre impair d’arêtes sont toujours en nombre pair.

Entre ces mêmes équations (4), on peut éliminer, tour à tour $a$ et $\alpha ,\ b$ et $\beta ,\ c$ et $\gamma ,\ldots .$ Nous nous bornerons à examiner ce qui résulte des quatre premières éliminations.

Si d’abord on élimine tour à tour $a$ et $\alpha ,$ l’élimination de $a$ entraînera celle de $\delta ,$ et l’élimination de $\alpha$ entraînera celle de $d\,;$ on aura

$\left.{\begin{aligned}3\alpha +2\beta +\gamma &=12+(\varepsilon +2\xi +3\eta +\ldots )+2(b+2c+3d+\ldots ),\\3a+\,2b+\,c&=12+(e+2f+3g+\ldots )+2(\beta +2\gamma +3\delta +\ldots )\,;\end{aligned}}\right\}\quad (5)$

d’où résultent les conséquences que voici :

III. Il n’existe aucun polyèdre dont tous les sommets aient plus de cinq arêtes.

$\ \$

III. Il n’existe aucun polyèdre dont toutes les faces aient plus de cinq côtés.