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des séries représentées par $P$ et $Q,$ ce qui peut offrir d’intéressans résultats.

Nous croyons pouvoir affirmer, en terminant, que toutes les difficultés auxquelles ont pu et pourraient encore donner lieu à l’avenir les développemens de $2^{\frac {m}{n}}\operatorname {Cos} .^{\frac {m}{n}}x$ et $2^{\frac {m}{n}}\operatorname {Sin} .^{\frac {m}{n}}x$ se résoudront aisément et complètement à l’aide des considérations qui viennent d’être exposées.

GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE.

Recherche de quelques-unes des lois générales
qui régissent les polyèdres ;

M. Gergonne.

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Dans la VIII.^e note de ses Élémens de géométrie, M. Legendre a déduit du théorème d’Euler, sur les polyèdres, quelques conséquences extrêmement piquantes, pour la plupart. Mais cet illustre géomètre paraît avoir négligé de remarquer qu’excepté quelques théorèmes, tels, par exemple, que celui d’Euler, dans l’énoncé desquels le nombre des faces et celui des sommets figurent de la même manière, il n’est aucun théorème de ce genre auquel il ne doive inévitablement en répondre un autre, qui s’en déduit en y permutant simplement entre eux les mots faces et sommets^[1].

1. On peut consulter sur ce sujet le IX.^e volume du présent recueil (pag. 321-345).