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Toutes les fois donc qu’on voudra raisonner sur le développement de la fonction $(a+b)^{\frac {m}{n}},$ il faudra employer le développement complet

$\left(\operatorname {Cos} .{\frac {2p\varpi }{n}}+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .{\frac {2p\varpi }{n}}\right)D.$

et non pas sa valeur particulière $D.$

§. II.

Sur le développement des puissances fractionnaires des sinus et cosinus.

1. Les considérations exposées dans le précédent §., bien qu’extrêmement simples, paraissent de nature à faire évanouir toutes les difficultés que présentent les développemens de

$2^{\frac {m}{n}}\operatorname {Sin} .^{\frac {m}{n}}x,\qquad 2^{\frac {m}{n}}\operatorname {Cos} .^{\frac {m}{n}}x\,;$

et même à montrer comment ces difficultés, qui ont tant occupé les géomètres depuis quelques années^[1], se seraient pour ainsi

$D=a^{\frac {m}{n}}\left(1+{\frac {m}{n}}.{\frac {b}{a}}+{\frac {m}{n}}.{\frac {m-n}{2n}}.{\frac {b^{2}}{a^{2}}}+\ldots \right)$

il faudra ne prendre pour $a^{\frac {m}{n}}$ que sa valeur arithmétique absolue, sans quoi les $n$ valeurs de ce facteur, combinées avec les $n$ valeurs de $\operatorname {Cos} .{\frac {2p\varpi }{n}}+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .{\frac {2p\varpi }{n}},$ donneraient pour le développement de $(a+b)^{\frac {m}{n}}$ plus de valeurs qu’il n’en comporte.

J. D. G.
1. Voyez Annales, tom. XIII, pages 94 et 213. M. Poinsot, dans un Mémoire sur l’analise des sections angulaires, lu à l’académie royale des sciences de Paris, le 19 mai 1823, s’est aussi occupé de cette question.
   J. D. G.