Je dis de plus que tous ces quadrilatères que l’on circonscrirait au cercle auquel est circonscrit le premier, en prenant trois de ses sommets sur la circonférence du cercle auquel celui-là est inscrit, se trouverait également inscrit à ce cercle. Cela est évident, par ce qui vient d’être dit plus haut.
Considérant présentement, en particulier, deux des quadrilatères en nombre infini qui peuvent être à la fois inscrits à l’un de nos cercles et circonscrits à l’autre, les points de concours des diagonales de l’un et de l’autre doivent coïncider. En effet, chacun de ces points doit être le pôle d’une même droite relativement aux deux cercles ; ils doivent donc être situés tous deux sur la droite qui joint leurs centres. Soient l’un de ces points et le pied de la perpendiculaire à la polaire de on aura, relativement au cercle inscrit, et relativement au cercle circonscrit ou d’où et Le rectangle des deux droites et est donc donné, ainsi que leur somme ; ces deux droites sont donc données elles-mêmes ; la situation du point P est donc constante sur la droite ce point est donc commun à toutes les diagonales, ainsi que nous l’avions annoncé.
PROBLÈME. Deux cercles étant donnés de grandeur, quelle doit être la distance entre leurs centres pour qu’un même quadrilatère puisse à la fois être circonscrit au plus petit et inscrit au plus grand ?
Solution. Soient le rayon du plus grand cercle, le rayon du plus petit, et la distance cherchée entre leurs centres qui résout le problème.
Supposons les deux cercles disposés l’un par rapport à l’autre de la manière que l’exige le problème ; comme alors une des diagonales du quadrilatère pourra être prise arbitrairement, nous pourrons prendre pour cette diagonale le diamètre du cercle circonscrit qui contient le centre de l’inscrit. Soit donc ce diamètre (fig. 2)
